Isaac Newton | Cálculo Infinitesimal | Teoría de fluxiones

Es interesante mencionar que las principales ideas que Newton desarrollaría fueron concebidas en un período muy corto de tiempo, mientras permanecía en su lugar de nacimiento para escapar de la peste en Cambridge. Entre 1665 y 1666 concibió: las leyes de la gravitación universal y la mecánica celeste, las leyes de la composición de la luz, el teorema del binomio, y el cálculo.

El siglo XVII fue decisivo para las ciencias. Una combinación de resultados ofreció una nueva pintura de la realidad y nuevas perspectivas para el conocimiento. Por ejemplo, se dieron varios desarrollos importantes en la óptica y en el estudio de la naturaleza de la luz con Grimaldi (1618-1663) y el mismo Newton. Huygens hizo una descripción matemática del funcionamiento ondulatorio de la luz. Torricelli (1608 - 1647), discípulo de Galileo, inventó el barómetro descubriendo la presión atmosférica y también el "vacío''. Gassendi (1592 - 1655) introdujo de nuevo una forma de la teoría atomista de Leucipo y Demócrito. Es la época de Boyle, con sus resultados sobre el vacío y la teoría de gases, y también de Hooke, a quien se le atribuye haber sido el principal físico experimental antes de Faraday. Ahora bien, fue la obra de Newton la que culmina y potencia la llamada Revolución Científica.

La teoría newtoniana de la gravitación universal terminó de destruir la cosmología anterior y con ello se abrirían nuevas perspectivas intelectuales.

Un dato curioso es que Isaac Newton nació en 1642, en el campo, en Woolsthorpe, Inglaterra precisamente el año de la muerte de Galileo. Huérfano de padre antes de nacer, estudió en la Universidad de Cambridge gracias al apoyo de un tío materno (que se había graduado en esa universidad) que se dio cuenta de los talentos del niño. Newton haría aportes decisivos en las matemáticas, la mecánica, la cosmología, el estudio de la luz, que establecieron, en realidad, una nueva visión del universo y potenciaron significativamente nuevos métodos para el progreso de las ciencias. 

Manzano en la Universidad de Cambridge

Newton estudió en Cambridge con Barrow y permanecería en ese lugar hasta 1696.

Newton realizó una gigantesca hazaña intelectual: la mecánica celeste, es decir aquella síntesis magistral de mecánica y astronomía que integraba las leyes de Kepler (establecidas empíricamente), el movimiento de las mareas, el problema de los dos cuerpos esféricos, los principios de la teoría del movimiento lunar y muchas otras cosas, integración del movimiento de los astros y las leyes de la mecánica terrestre, de los resultados de Copérnico y Kepler con los de Galileo, y ofrecía al mundo una descripción matemática de la realidad.

Philosophiae naturalis principia mathematica

 

Una de las obras más famosas e influyentes de todos los tiempos: Philosophiae naturalis principia mathematica ("Principios matemáticos de la filosofía natural'') es de 1687. Esta obra integra matemáticamente las leyes del movimiento planetario a través de la ley de la gravitación de los cuadrados inversos: 

[La fuerza gravitacional entre dos masas es proporcional a las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas] o

[La fuerza gravitacional entre dos masas es igual a una constante por el producto de las masas, dividido este por el cuadrado de la distancia entre ellas. G es la constante de proporcionalidad.]
Conviene una descripción de este libro fundamental:

"En resumen, los Principios Matemáticos de la Filosofía Natural se presentan como un tratado de mecánica en el que se establecen demostrativamente los movimientos de los cuerpos en sus relaciones generales con las fuerzas que los producen. La obra está dividida en tres partes o libros. El Libro I se ocupa del movimiento de los cuerpos en el vacío, esto es, en un medio carente de toda resistencia. En él jugará un importante papel la noción de fuerza centrípeta, a partir de la cual se fundamentan dinámicamente las tres leyes de Kepler. El Libro II, en cambio, estudia el movimiento de los cuerpos en medios resistentes (fluidos). Constituye de hecho una implacable crítica a la teoría cartesiana de los vórtices. Por último, el Libro III ofrece la constitución del sistema del mundo como consecuencia de la aplicación de la matemática racional (en la que movimientos y fuerzas se analizan matemáticamente y en abstracto) a la mecánica celeste. Es decir, los resultados de los libros anteriores, en especial del Libro I, se emplearán para conocer y predecir con exactitud los principales fenómenos celestes y terrestres, quedando finalmente instituida la famosa teoría de la gravitación universal. Cuando esto suceda, el mundo aparecerá como una elegante estructura ordenada en la que nada, ni en los cielos ni en el mar, escapará a la acción de esa fuerza gravitatoria que opera por doquier según una ley inexorable desvelada por Newton.'' [Rioja, Ana & Ordóñez, Javier: Teorías del Universo, Volumen II de Galileo a Newton, pp. 198, 199]

En opinión de Hawking esta obra es:

"Probablemente la obra más importante publicada en las ciencias físicas en todos los tiempos. En ella, Newton no solo presentó una teoría de cómo se mueven los cuerpos en el espacio y en el tiempo, sino que también desarrolló las complicadas matemáticas necesarias para analizar esos movimientos. Además, Newton postuló una Ley de la Gravitación Universal, de acuerdo con la cual cada cuerpo en el Universo era atraído por cualquier otro cuerpo con una fuerza que era tanto mayor cuanto más masivos fueran los cuerpos y cuanto más cerca estuvieran el uno del otro.''

Newton explicó matemática y axiomáticamente el movimiento de los cuerpos celestes, las mareas, los fundamentos de la teoría del movimiento lunar, etc.

En la perspectiva cosmológica:

"La teoría de Newton pondrá de manifiesto la posibilidad de un conocimiento racional del universo copernicano a partir de principios mecánicos, en el que ya no tenga el menos sentido la distinción entre mundo sublunar y otro supralunar o entre Tierra y Cielo, en el que el conjunto de los cuerpos ocupen un lugar no especifico de cada uno de ellos en un espacio y tiempo infinitos, en el que nada escape a la acción de la gravedad, en el que todo en cualquier parte del sistema solar esté sometido a los mismos procesos de movimiento regidos por las mismas leyes naturales inexorables.

Si el De Caelo de Aristóteles fue la obra cosmológica indiscutible durante siglos ligada a una astronomía geocéntrica, los Principia de Newton representan la culminación de una concepción realista heliocéntrica de la astronomía debido al carácter dinámico, y no meramente cinemático, de su teoría. En efecto, tal como manifiesta el astrónomo Fred Hoyle, si la opinión según la cual es la Tierra la que realmente gira alrededor del Sol tiene validez objetiva, ha de haber alguna propiedad física importante que aparezca en el planteamiento heliocéntrico, pero no en el geocéntrico. ¿Cuál? En el sistema solar la ley de gravitación o ley del inverso del cuadrado arroja resultados incompatibles aplicada a un mundo en el que el centro sea el Sol y a otro en el que lo sea la Tierra, puesto que predice órbitas planetarias diferentes según el centro elegido. Ahora bien, las predicciones que concuerdan con la observación son las que corresponden a un centro ocupado por el Sol, y no en modo alguno por la Tierra. Luego la ley de Newton sólo opera en un mundo heliocéntrico, lo que pone de manifiesto la verdad, y no simplemente la utilidad del sistema copernicano.'' [Rioja, Ana y Ordóñez, Javier: Teorías del universo. Volumen I. De los pitagóricos a Galileo, p. 273]

Principia es uno de las grandes libros de todos los tiempos. No obstante, en el año 1704 Newton publicó otro gran trabajo, la Óptica, donde formula su teoría corpuscular de la luz y su teoría de los colores. En ediciones posteriores Newton incluyó como apéndice algunos tópicos sobre filosofía natural, con consideraciones especulativas y metafísicas sobre asuntos como la luz, el calor, el éter, la materia.

Newton dio a su cálculo el nombre de Teoría de fluxiones

Es interesante mencionar que las principales ideas que Newton desarrollaría fueron concebidas en un período muy corto de tiempo, mientras permanecía en su lugar de nacimiento para escapar de la peste en Cambridge. Entre 1665 y 1666 concibió: las leyes de la gravitación universal y la mecánica celeste, las leyes de la composición de la luz, el teorema del binomio, y el cálculo.
Sin lugar a dudas, el cálculo diferencial e integral dentro de las matemáticas

Leibniz

constituía el resultado más importante del siglo XVII y abría nuevos territorios y fronteras extraordinariamente fértiles para potenciar el desarrollo de estas disciplinas, y de la ciencia en general. La obra de Newton y, como veremos, la de Leibniz también, empujaron una nueva época en la construcción matemática.
Aunque Newton descubrió-construyó el cálculo diferencial e integral en los años 1665 a 1666, y Leibniz lo hizo en 1673 y 1676, fue este último quien publicó primeramente sus resultados en los años 1684 y 1686. Newton publicaría sus resultados en 1704 y 1736. Sin duda, Newton y Leibniz aportaron sus conceptos y métodos de una manera totalmente independiente, más aún con características y fisonomías diferentes, pero -lo que es la vida- se estableció una polémica durante muchos años sobre quién había hecho sus descubrimientos primero.
Newton dio a su cálculo el nombre de Teoría de fluxiones. Las funciones x, y, z eran fluentes, y las derivadas las llamaba fluxiones, estas últimas las denotaba.

Los infinitesimales los llamaba Momentos de fluxiones y los denotaba

Los métodos infinitesimales eran el nudo teórico al que buscaban dar una respuesta tanto Newton como Leibniz. De hecho, se trata de la noción de límite. Estos matemáticos obtuvieron sus resultados, métodos, aplicaciones, usando esa noción de una manera intuitiva, física, geométrica, mecánica. Como veremos, un tratamiento más riguroso se desarrollaría muchas décadas después.

Los métodos infinitesimales habían estado en la historia de las matemáticas

La paradoja de Aquiles y la tortuga. Indicios de
cálculo infinitesimal

desde la Antigüedad, ya sea cuando se abordaron los problemas del infinito y la continuidad, incluso por medio de las paradojas de Zenón, como también en la series o sumas indefinidas de términos, en la división indefinida de longitudes, áreas o volúmenes, etc. Son métodos infinitesimales a los que se hace referencia con los procedimientos arquimedianos de exhausción para calcular longitudes áreas o volúmenes. Es, también, este tipo de método el que se plantea cuando se divide un área en un número infinito de rectas indivisibles, o se calcula un área usando una cantidad infinita de rectángulos, etc..

Críticas 

 

Es interesante traer a colación aquí, que, precisamente, por la falta de precisión y rigor lógicos en el trabajo de Newton en relación con el cálculo, se desató una serie de críticas por parte de filósofos.

Uno de los más conocidos fue el obispo George Berkeley (1685 - 1753). Berkeley reconocía la utilidad de los nuevos métodos y la validez de los resultados, pero criticaba que no se apegaban a la deducción lógica y más bien eran procedimientos inductivos. Newton afirmaba que la derivada era una razón final y consideraba los infinitesimales como "cantidades evanecentes''.

Para Berkeley la noción de velocidad instantánea no podía existir puesto que el concepto de velocidad depende del espacio y el tiempo. Si se expresa la velocidad como el límite

(Cuando ) de razones como

Con la y distancia x tiempo, Berkeley preguntaría ¿cuál es el sentido de incrementos que se desvanecen ( Δy y Δx se hacen 0) dejando un cociente sin sentido ? Una velocidad --para Berkeley-- debe ser una distancia sobre un tiempo. ¿Cómo puede existir una velocidad con  distancia nula y sobre un tiempo también nulo?

Lo que estaba en la picota era el "paso al límite'', porque se hacía sin suficiente precisión de los términos usados. Además, lo que es decisivo, ese paso de las pendientes de rectas secantes a la pendiente de la recta tangente o la derivada, es decir el límite, era un método que se escapaba de las matemáticas "normales''. La noción de "paso al límite'' no podía encerrarse dentro de la geometría euclidiana, la aritmética o el álgebra tradicionales. De lo que se trataba era de un método matemático diferente, nuevo, el cual se encontraba en esa época en un momento de descubrimiento-construcción en el cual no se podía pretender un nivel mayor de precisión. Antes tendría que desarrollarse un largo proceso de manipulación, aplicación, reflexión y afinamiento para poder acceder a una formulación más rigurosa desde un punto de vista lógico. 

La creación del cálculo diferencial e integral por Newton estuvo relacionada con las series infinitas

Por otra parte, la creación del cálculo diferencial e integral por Newton estuvo relacionada con las series infinitas. El descubrimiento y la generalización del teorema del binomio le permitieron hacer importantes desarrollos mediante series infinitas (aunque no siempre con la validez asegurada). Había una gran relación entre el trabajo de Newton y el estudio sobre la series infinitas que había hecho Wallis. 

analysi per aequationes numero terminorum

Newton escribió en el año 1669 sus ideas sobre series y el cálculo en el libro De analysi per aequationes numero terminorum infinitas que, sin embargo, fue publicado hasta 1711. También, esta relación entre series y cálculo se manifiesta en Methodus fluxionum et serierum infinitorum (escrito en 1671), y publicado en inglés en 1736 y en latín en 1742. Una tercera exposición del cálculo Newton la hizo en 1676 en De quadratura curvarum. En esta última obra, publicada en 1704, Newton trataba de evitar las "cantidades infinitamente pequeñas'' y las "cantidades fluentes'' que usó en los trabajos anteriores. Aquí planteaba una teoría de las "razones primeras y últimas'', donde la "razón última'' era la derivada formulada sin el concepto de límite.   

El único libro en que Newton mostró su cálculo y publicó rápidamente fue Philosophiae naturalis principia mathematica (1687). En el Lema I del Libro I, Sección I de esta obra, al considerar el límite de una función (o de la derivada), Newton señalaba:

"Cantidades, y la razón de cantidades, que en cualquier intervalo finito de tiempo convergen continuamente a la igualdad, y que antes del final de dicho tiempo se aproximan una a la otra más que cualquier diferencia dada, se hacen finalmente iguales''

Si bien Newton usó el cálculo en su estudio de la astronomía y mecánica en esta obra, una gran parte del libro fue expresada en forma geométrica tradicional para que sus contenidos fueran mejor aceptados por la comunidad científica de ese tiempo.

Stephen Hawking nos brinda una pincelada de la personalidad de Newton:

"Isaac Newton no era un hombre afable. Sus relaciones con otros académicos fueron escandalosas, pasando la mayor parte de sus últimos tiempos enredado en acaloradas disputas. Después de la publicación de los Principia Mathematica (seguramente el libro más influyente jamás escrito en el campo de la física), Newton fue ascendido rápidamente en importancia pública. Fue nombrado presidente de la Royal Society, y se convirtió en el primer científico de todos los tiempos que fue armado caballero.'' 

Las grandes cualidades de las personas suelen estar acompañadas de debilidades; la naturaleza de la vida es así. Los científicos son de carne y hueso y los resultados de su trabajo están condicionados por sus características personales y por el contexto social e histórico en que se dan. 

 

Uno de los problemas de Newton era esta distancia entre su creación intelectual y la publicación

Si bien Newton había descubierto o construido el cálculo alrededor del año 1665 no publicaría sus resultados hasta el siglo XVIII, en un período que va de 1704 a 1736. Leibniz lo había descubierto un poco después que Newton entre los años 1673 y 1676, pero lo publicó antes que él: entre 1684 y 1686.

De hecho, a la hora de establecer su influencia sobre sus contemporáneos, debe señalarse, uno de los problemas de Newton era esta distancia entre su creación intelectual y la publicación (entre 1665 y 1666 estaba en poder de la ley de la gravitación universal, la cual no aparecería sino hasta 1687).