Matemática en Babilonia

El sistema sexagesimal para la medición del tiempo y de ángulos fue una herencia de los babilónicos

Los registros que se tienen son de naturaleza arqueológica, en arcilla, y, por supuesto, se encuentran limitados de muchas maneras. No nos permiten una visión exacta de las características en que se desarrollaron cultural y matemáticamente. En relación con Mesopotamia, los registros más antiguos datan del 3500 a.C. y terminan en el 539 a.C, fecha en la que estos territorios fueron conquistados por Persia.

Henry Creswicke Rawlinson

Hay alrededor de 500 000 tablillas de arcilla que constituyen las fuentes principales de la cultura babilónica, y entre ellas unas 500 son de interés para las matemáticas. La mayoría de los registros de que se dispone son del periodo llamado Antiguo, más o menos alrededor del 2 500 a.C.

El sistema cuneiforme de escritura fue descifrado a mediados del siglo XIX por George Frederick Grotefend y Henry Creswicke Rawlinson

La aritmética más desarrollada en la civilización Mesopotámica fue la Acadiana. Dos de las características más importantes de su sistema numérico fueron la base 60 y la notación posicional. No obstante, debe señalarse que los babilonios no usaban solamente la base 60. En ocasiones, aparecía la base 10, pero otras bases también. Al igual que sucede con otras culturas y sistemas numéricos, con los babilonios se dio una forma combinada de sistemas numéricos determinados por circunstancias históricas o incluso regionales. En lo que sí parece haber consenso es que se dio el uso bastante sistemático de la base 60 para todos los cálculos relacionados con la astronomía.
Esto debe subrayarse:

"Tanto el sistema sexagesimal como el sistema del valor del lugar han permanecido en posesión permanente de la humanidad. Nuestra división presente de la hora en 60 minutos y 3600 segundos data de los sumerios, al igual que nuestra división del círculo en 360 grados, cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Hay razón para creer que esta opción de 60 en lugar de 10 como una unidad ocurrió en un esfuerzo por unificar sistemas de medida, aunque el hecho de que 60 tiene muchos divisores también puede haber jugado un papel. Acerca del sistema del valor posicional, su importancia permanente se ha comparado con el alfabeto (ambas invenciones reemplazaron un simbolismo complejo por un método fácilmente entendible por muchas personas). Es razonable suponer que hindúes y griegos obtuvieron las rutas de las caravanas hacia Babilonia; también sabemos que los académicos musulmanes lo describieron como una invención india. La tradición babilónica, sin embargo, puede haber influido en la aceptación tardía del sistema posicional.'' [Struik, A Concise History of Mathematics, p. 26].

No poseían sin embargo el cero, ni tampoco algún símbolo para expresar la diferencia entre la parte entera y la fraccionaria de un número. Estos problemas implicaban cierto nivel de ambigüedad en el sistema numérico. De hecho, se afirma que -aunque lo usaban- no se trataba de un sistema posicional absoluto.
Para los babilonios, los símbolos fundamentales eran del 1 al 10 y los números del 1 al 59 se formaban combinando algunos de estos símbolos.

Sumar y restar era un proceso de poner o quitar símbolos.
La multiplicación se hacía más o menos como se hace hoy; de hecho, dividir era multiplicar por el inverso. Usaban tablas para obtener los inversos.
En algunos problemas concretos aparecen las progresiones aritmética y geométrica.
Se sabe también que los babilonios podían expresar cuadrados, cubos, raíces cuadradas, cúbicas; eso sí: a través de tablas. En efecto, por medio de las tablas podían resolver ecuaciones de la forma:

También resolvían la ecuación ax=c como nosotros lo haríamos.
Los babilonios estaban en posesión de la fórmula cuadrática. Resolvían ecuaciones como

 Siempre que b>0 y c>0 

No tenían números negativos, por lo tanto, no eran aceptadas las raíces de ecuaciones cuadráticas con soluciones negativas.

Tablilla ubicada en la Universidad de Yale

No obstante, se supone que sí podían calcular con números irracionales. De hecho, realizaron un cálculo aproximado asombroso: el de la √2. Una tablilla ubicada actualmente en la Universidad de Yale, nos indica que los babilonios lograron desarrollar un algoritmo para determinar aproximadamente el valor de √2 mediante la expresión

 Este algoritmo permitió obtener la siguiente expresión

 

¿De qué manera los babilonios obtuvieron esta expresión? El análisis de las tablillas babilónicas permite conjeturar el procedimiento utilizado.

Es importante subrayar que los problemas algebraicos sólo podían establecerse y, por supuesto, resolverse, de una manera verbal.
En ocasiones, los babilonios emplearon símbolos para las incógnitas pero sin conciencia sobre el significado de ello.
En lo que se refiere a la geometría, para los babilonios ésta no se estudiaba por sí misma, no se consideraba tampoco una disciplina separada, y siempre en relación directa con problemas concretos surgidos del entorno. Sin embargo, conocían las áreas de rectángulos, de triángulos rectángulos, isósceles, trapecios (un lado perpedicular a dos paralelos).
Se conoce el uso de algunos tripletes pitagóricos. Es decir, se puede decir que conocían y usaban el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, hay un problema en una tablilla que se encontró en Susa que plantea:
Hallar el radio del círculo circunscrito al triángulo de lados 50, 50 y 60.
La solución usaba el teorema. Hay otro registro más o menos del año 1000 a.C. en que se ofrece una solución más detallada y con una lógica geométrica innegable:
Hallar la longitud y anchura de la siguiente figura, dadas 0;45 (0,75) y diagonal 1;15 (1,25). [El ";'' es la notación del investigador Otto Neugebauer para separar la parte entera de la fraccionaria, nuestra coma, solo que en forma sexagesimal (en su libro Mathematische Keilschrift-Texte).]

Tenían conocimiento de algunas propiedades de los triángulos semejantes.
Se dice que conocían el siguiente teorema:
"En un triángulo rectángulo, al trazar una perpendicular desde el ángulo recto hasta la hipotenusa, los triángulos que se forman a cada lado de esta perpendicular son semejantes entre sí y al triángulo entero''.

Tabla de Susa

Ese teorema lo consigna Euclides. Algunos autores opinan que sobre esto Euclides tuvo que haber tomado fuentes babilónicas.
De manera general, en las matemáticas babilonias tanto en la aritmética, el álgebra como en la geometría, las reglas eran establecidas por la prueba y el error, con sustento en la experiencia práctica. No hay evidencia de la idea de estructura lógica, o la de la demostración, o de la necesidad de ofrecer una justificación más allá de lo que la práctica o la evidencia física permitían.
Si se posee la mentalidad deductiva y axiomática que impondrá Grecia y que luego permearía Europa, se empujaría una tendencia a considerar este tipo de resultados como elementales o rudimentarios. Sin embargo, aquí hay un debate. Por ejemplo, porque los métodos de demostración que se pueden asumir como válidos no necesariamente deben establecerse solamente por el recurso a la deducción a partir de primeros principios, por más valiosa y necesaria que ésta pueda ser. La repetición sistemática, el uso, la contrastación con ejemplos o la búsqueda de contraejemplos podrían ser alternativas para asegurar la validez de un resultado.
En todo caso, aunque en geometría hay, también, resultados relevantes, en cuanto al álgebra y la aritmética, no se puede negar que poseían una impresionante sabiduría. Como veremos, el álgebra y la aritmética se verían sometidos a criterios más bien de naturaleza ideológica en el mundo griego, debilitando su progreso.

Trapezoide Babilónico