Cálculo Infinitesimal | Primeros Pasos | Parte 2

El gran matemático Laplace consideraba a Fermat como el verdadero descubridor del cálculo diferencial

Fue en el curso de sus trabajos en la geometría de coordenadas que Fermat descubrió un método que le permitía calcular la pendiente de una recta tangente a una curva algebraica. Un claro antecedente del concepto de derivada. La forma precisa en que Fermat lo realizó se puede reducir al cálculo del siguiente límite: 

Esta aproximación es casi idéntica a la que Newton y Leibniz desarrollarían posteriormente. Es debido a este resultado que el gran matemático Laplace consideraba a Fermat como el verdadero descubridor del cálculo diferencial. Debe decirse, sin embargo, que Fermat no explicó apropiadamente su método. 

Barrow 

Por otra parte, otros matemáticos hicieron contribuciones previas al desarrollo definitivo del cálculo, como el mismo maestro de Newton, Isaac Barrow (1630 - 1677) en Lectiones Geometricae (1669). Para algunos historiadores de las matemáticas, había sido precisamente Barrow quien más cerca estuvo del cálculo diferencial e integral antes de Newton. Por ejemplo, se supone que Barrow era consciente de que los problemas de la tangente y del cálculo de áreas eran inversos. 

Barrow tuvo una participación importante en el trabajo de Newton. En 1669, cuando fue llamado a ocupar el puesto de capellán del rey Carlos II, Barrow logró que a Newton le dieran la Cátedra Lucasiana en Cambridge.

Es decir, a mediados de el siglo XVII, los matemáticos habían logrado calcular rectas tangentes, calcular volúmenes y centroides, aunque todavía la relación inversa entre la derivada y la integral no se había explicado; y esto último fue más bien un resultado del trabajo de Isaac Barrow, por lo menos desde 1670. Por otra parte, Pascal introdujo un método que adelantaba el "desvanecimiento'' de los famosos infinitesimales, es decir, el paso al límite. Deben consignarse también los trabajos de Grégoire de Saint Vincent, Paul Guldin y André Tacquet.

El nombre de Blaise Pascal se asocia con los infinitesimales, el principio de inducción completa, con las probabilidades, y a un famoso teorema de un hexágono inscrito en un círculo, así como al triángulo aritmético formado por coeficientes binomiales.

Áreas y curvas

Otro de los grandes asuntos a los que respondió el cálculo fue el de calcular áreas bajo curvas, ya con geometría de coordenadas, y un tema que es similar al de aproximar figuras por medio de otras; en la Antigüedad se usó el método de exhausción en esa dirección. Vamos a usar básicamente el tratamiento que dimos en nuestro libro Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y Ejercicios resueltos para indicar un ejemplo de la situación.

Usamos la curva

entre la recta O y A

Dividimos el segmento en n partes; esto provoca de n segmentos de longitud , en el caso de n=4, las alturas son:


¿Cómo se aproxima el área? Por medio de la suma de los rectángulos de base siempre l. Es decir, tenemos:

Por lo tanto:

¿Por qué?
En el caso de n rectángulos, de base , las alturas son de la forma



y la última


¿Cómo queda el área? Así:


El problema es el segundo factor de la derecha. Pero, se podía resolver porque Pascal y Fermat habían demostrado que

¿Qué pasa cuando n se hace muy grande? Es decir, cuando n es infinito. Pues se eliminan. Tenemos de esa manera que:

Había otros resultados. Por ejemplo, Fermat había calculado (en nuestra notación)

Se trataba de un resultado conocido por Roberval, Torricelli y Cavalieri, más o menos.

La función: un concepto clave

Uno de los conceptos matemáticos que tienen origen directo en los trabajos de los científicos de la época es el de función. Tanto por su interés en el mejoramiento de los métodos y al calcular la posición de los barcos navegantes a través de la luna y las estrellas, como el movimiento de objetos en caída libre o de los proyectiles, se empezó a construir el concepto de función. Éste ya se encuentra, por ejemplo, en los trabajos de Galileo. No obstante, durante todo el siglo XVII, las funciones fueron estudiadas más bien como curvas. Incluso las funciones trascendentes elementales como las logarítmicas, exponenciales o trigonométricas.

También debe mencionarse la introducción de curvas viejas y nuevas por medio de movimientos. Por ejemplo, la cicloide fue definida por Mersenne en el año

Mersenne

1615. En la Antigüedad la cuadratriz y  la espiral de Arquímedes fueron definidas a través de movimiento.
Las curvas fueron agrupadas entre aquellas algebraicas y las trascendentes. Por ejemplo, James Gregory expresó con claridad en el año 1667 que el área del sector circular no podía ser una función algebraica del radio y de la cuerda. De igual manera, Leibniz demostró que la función sen x no podía ser algebraica en relación con x. Puede decirse, sin embargo, que la distinción se originó en Descartes, al separar curvas geométricas de las que él llamó mecánicas.

Los historiadores de las matemáticas afirman que el concepto de función en el siglo XVII, como una cantidad obtenida de otras a través de una colección de operaciones algebraicas u otras
operaciones, se encontraba plenamente en el trabajo de Gregory: Vera Circuli et Hiperbolae Quadratura (1667). Como veremos, Newton usaría la palabra "fluente'' para la relación entre las variables. Leibniz usaría la palabra función para una cantidad variable de punto en punto sobre una curva, como la longitud de la tangente, la normal, la ordenada. En 1714, Leibniz utilizaría la palabra función para cantidades que dependían de una variable.

Vera Circuli et Hiperbolae Quadratura (1667)

Wallis y Huygens

 

Otra de las obras significativas en la gestión del cálculo fue Aritmetica infinitorum, de Wallis, en 1655. Wallis utilizó procesos infinitos, como productos y series, potenciando el uso del álgebra y alejándose de los métodos geométricos de la Antigüedad.

Fue también de importancia la obra de Huygens Horologium oscillatorium de 1673, la cual aunque dirigida a técnicas en el cálculo del tiempo para la navegación, incluyó el estudio de curvas en el plano. Huygens trabajó con la catenaria, la tractriz, y la logarítmica. Tanto los trabajos de Wallis como los de Huygens fueron importantes para la síntesis teórica que haría Newton.

Christiaan Huygens

Muchos otros matemáticos hicieron contribuciones al cálculo previamente a Newton y Leibniz: Gregory St. Vincent, Alfons de Sarasa, Nicholas Mercator, Christopher Wren, C. Huygens, James Gregory, Cavalieri, Descartes, Fermat, Wallis, Barrow, Pascal y otros. Estaba la mesa servida para una gran síntesis de los métodos infinitesimales y las respuestas a los problemas centrales que reclamaban su uso en el siglo XVII.

Los trabajos fueron hechos en relación con cada uno de los cuatro grandes problemas que se trataron de resolver y que mencionamos antes. Pero, salvo ciertas conexiones y relaciones, fueron realizados considerándolos como problemas distintos. Faltaba la visión para entender que el concepto de derivada y el de integral como límite de una suma estaban asociados íntimamente: la integral como el proceso inverso de la derivación. Algunos vieron cosas particulares de esta relación pero no apreciaron su generalidad e importancia.
Durante todos estos años aparecía con fuerza la idea de un método general para la comprensión de la naturaleza, el cual se identificaba con las matemáticas.