Cálculo Infinitesimal: Newton vs. Leibniz

El trabajo de Newton fue anterior al de Leibniz, pero que este último obtuvo sus resultados de una manera independiente a Newton

Si bien es cierto que Newton no había publicado antes de 1687 sus hallazgos en el cálculo diferencial e integral, obtenidos alrededor de los años 1665 y 1666, sí había presentado algunos de sus manuscritos a sus amigos. De Analysi, por ejemplo, se lo había dado a Barrow en 1669, quien se lo había enviado a John Collins. Leibniz estuvo París en 1672 y en Londres en 1673 y estuvo en contacto con gente que conocía la obra de Newton. Fue en este escenario que nació la acusación a Leibniz como un plagiador de las ideas de Newton.

Los historiadores de las matemáticas han concluido que el trabajo de Newton fue anterior al de Leibniz, pero que este último obtuvo sus resultados de una manera independiente a Newton. Se sabe, sin embargo, que ambos tuvieron la influencia de Barrow, quien se considera el matemático que había llegado más lejos en la comprensión de que la derivada y la integral tenían una naturaleza inversa, aunque con una óptica esencialmente geométrica.

Más aún, existe una diferencia radical en los enfoques de Newton y Leibniz en relación con el cálculo. Esto debería haber sido suficiente como para concluir que se trataba de creaciones independientes. Sin embargo, se desarrolló una gran polémica sobre la prioridad en estos descubrimientos o construcciones, que estableció una separación fuerte entre los matemáticos británicos y los continentales.

Para algunos, la responsabilidad en esta extraordinaria controversia, que tuvo implicaciones importantes en el desarrollo de las matemáticas, descansa fundamentalmente en Newton. Hawking es muy crítico de Newton:

"Aunque sabemos ahora que Newton descubrió el cálculo años antes que Leibniz, publicó su trabajo mucho después. Sobrevino un gran escándalo sobre quién había sido el primero, con científicos que defendían vigorosamente a cada uno de sus contendientes. Hay que señalar, no obstante, que la mayoría de los artículos que aparecieron en defensa de Newton estaban escritos originalmente por su propia mano, ¡y publicados bajo el nombre de amigos! Cuando el escándalo creció, Leibniz cometió el error de recurrir a la Royal Society para resolver la disputa. Newton, como presidente, nombró un comité 'imparcial' para que investigase, ¡casualmente compuesto en su totalidad por amigos suyos! Pero eso no fue todo: Newton escribió entonces él mismo los informes del comité e hizo que la Royal Society los publicara, acusando oficialmente a Leibniz de plagio. No satisfecho todavía, escribió además un análisis anónimo del informe en la propia revista de la Royal Society. Después de la muerte de Leibniz, se cuenta que Newton declaró que había sentido gran satisfacción 'rompiendo el corazón de Leibniz'''.

Producto de la polémica, los matemáticos británicos se negaron a usar la notación de Leibniz, que resultaba mejor que la de Newton y que es la que esencialmente usamos hoy en día. Se dio lo que se puede caracterizar como un retroceso de la matemática en Inglaterra en relación con la Europa continental. El asunto no se zanjaría sino hasta principios del siglo XIX cuando los británicos
adoptaron la notación de Leibniz. En la solución de la controversia, tuvo especial relevancia el papel jugado por el matemático francés Laplace.

Laplace

Esta polémica nos revela cómo en la construcción matemática participan dimensiones muy humanas, psicológicas, sociológicas, que influencian notablemente los quehaceres más abstractos dentro de las comunidades matemáticas. Es posible, incluso, que divergencias de criterios, decisiones, apreciaciones, o malas intenciones, puedan definir por años el decurso de una disciplina.

¿Cuáles eran las diferencias existentes en los enfoques de Newton y Leibniz?

Tanto Newton como Leibniz consideraron el cálculo como un nuevo campo matemático independiente tanto de la geometría como del álgebra, en sus conceptos y métodos, y ofrecieron un fundamento algebraico a éstos. Como lo hemos analizado, los métodos infinitesimales antes de Newton y Leibniz, tenían una gigantesca influencia de la geometría. El énfasis puesto ahora en el álgebra era decisivo. De igual manera, tanto Newton como Leibniz redujeron los problemas del cálculo de áreas, segmentos, volúmenes, a procesos de antiderivación. O, puesto de forma general, todos los grandes problemas que dieron origen a la construcción del cálculo fueron resueltos por ambos matemáticos en términos de derivación o integración (antiderivación).

Sin embargo, había diferencias. Mientras que Leibniz usaba los incrementos infinitesimales en la x y y, y luego estudiaba la relación entre ellos, Newton usaba sus infinitesimales en la derivada misma.
En Newton los infinitesimales estaban asociados directamente al cálculo de velocidades instantáneas (un claro sentido de aplicación física).
En Leibniz el interés no era la aplicación física. De hecho, se podría establecer una correlación entre infinitesimales y "mónadas'', estos últimos entes primarios en la descripción de lo real según la filosofía que aparece en su libro de filosofía (metafísica) Monadología.
El énfasis de Newton era la razón de cambio, mientras que en Leibniz lo era la suma infinita de infinitesimales.

Como hemos visto, fue también relevante la diferencia en el uso de la notación. Mientras que para Leibniz era muy importante, Newton no le prestó mucho cuidado. Tampoco Newton dio mucha atención a la formulación precisa de los algoritmos y reglas usuales del cálculo. En esto, nos repetimos, es probable que la vocación por una búsqueda de reglas generales universales, en Leibniz, fuera un factor para su desarrollo de la forma y la notación.