∫eibniz | Cálculo Infinitesimal

Leibniz nació en Leipzig y vivió casi siempre alrededor de Hanover, Alemania, donde trabajó para  los duques (uno de ellos fue Rey de Inglaterra con el nombre de Jorge I). Estudió derecho e hizo su  primera tesis en lógica.

Actual Leipzig

En 1666, escribió su tesis doctoral De Arte Combinatoria ("Sobre el arte de las combinaciones''), en la que formuló un método universal para razonar.

Se trataba de un hombre de grandes cualidades intelectuales que además de matemático, fue filósofo, abogado, filólogo, historiador e incluso hizo aportes a la geología. Aunque sus contribuciones no llegan al nivel de las de Newton, hizo contribuciones en mecánica, óptica, hidrostática, neumática, ciencia náutica, en la lógica y hasta en la construcción de máquinas calculadoras. Se ganó la vida como diplomático y abogado, pero sus trabajos en las matemáticas y la filosofía fueron muy relevantes. 

Calculadora de Leibniz

 

Se dice que siempre trató de conciliar las religiones católica y protestante. También fue un promotor de sociedades académicas con el propósito de promover las ciencias y las técnicas en reacción al carácter conservador y retrógrado de las universidades de su tiempo. Al igual que Galileo, escribió en lengua vernácula, privilegió el alemán frente al latín.

Leibniz propuso un método universal para conocer, crear y entender la profunda unidad del universo: la scientia generalis. Y también la creación de un lenguaje perfecto para realizar el razonamiento por medio de cómputos simples: la lingua characterica.

Estos proyectos motivaron parte de su trabajo intelectual, y le condujeron en el primer caso a resultados matemáticos, y en el segundo a ofrecer aportes en la lógica y en la simbología matemáticas. 

Es interesante que Leibniz fue influenciado por Descartes de una manera particular. Este último tuvo una influencia importante en los matemáticos holandeses; debe recordarse que pasó unos veinte años en Holanda. Tuvo influencia en particular sobre Frans van Schooten (1615 – 1660) quien propagó y amplió la geometría analítica cartesiana, e incluso hizo una versión en latín de la Géométrie. Huygens fue uno de los discípulos de van Schooten, un gran científico con aportes en la teoría de la luz, en astronomía y al que se le atribuye el reloj de péndulo. En 1666, Huygens se trasladó a París, en donde permaneció hasta 1681. Este matemático, ya en 1656, había aplicado métodos infinitesimales a las cónicas (por ejemplo, redujo la "rectificación'' de la parábola a la "cuadratura'' de la hipérbola). 

Frans van Schooten

Leibniz estuvo en París, al parecer, entre los años 1673 y 1676. Por influencia directa de Huygens estudió los trabajos de Descartes, Pascal y algunos matemáticos británicos. La relación entre Leibniz y Huygens fue importante para el trabajo de Leibniz en el cálculo. Es posible ver la relación entre estos dos matemáticos en el desarrollo conjunto del concepto de energía cinética. 

Se debe mencionar que Leibniz sabía del rumor de que Newton ya manejaba un nuevo método, y esto contribuyó a estimular su trabajo.

Mientras el enfoque de Newton fue físico, el de Leibniz fue esencialmentegeométrico, incluso algebraico o lógico.

Desde que Leibniz entró en contacto con las matemáticas, bajo la influencia de Huygens, le dio importancia al cálculo de las tangentes a las curvas y, muy rápidamente, estuvo seguro de que se trataba de un método inverso al de encontrar las áreas y volúmenes a través de sumas. Leibniz escribió varios artículos entre 1675 y 1684 que expresan su evolución en la construcción del cálculo. En noviembre de 1676 ofreció las reglas dxⁿ= ndx^n-1  para un entero o fraccional y, también

En julio de 1677 Leibniz ofrecía las reglas correctas para la diferencial de la suma, diferencia, producto y cociente de 2 funciones y para potencias y raíces, aunque no ofrecía pruebas.

Su método se recoge por primera vez en un artículo que apareció en la revista Acta eruditorum en 1684, que él mismo había fundado dos años antes (donde ya había anunciado su método): Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus ("Un nuevo método para máximos y mínimos, y también para tangentes, que no se ve obstruido por las cantidades fraccionarias ni por las irracionales''). 

Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus

Se trataba de una aproximación geométrica y no cinemática como en Newton. Se percibe la influencia de Pascal y de Barrow (especialmente Geometrical Lectures, 1670), así como de Huygens y Descartes. Ya aquí aparecían las reglas básicas de la derivación, las condiciones para valores extremos (máximos y mínimos) y para los puntos de inflexión.

Este artículo contenía, entonces, los símbolos dx, dy y las reglas

dy=0 para valores extremos relativos o  d²y=0 para los puntos de inflexión.

Fue Leibniz quien introdujo precisamente aquí el término "cálculo diferencial'' (de di-fe-ren-cias).
Aunque y se toman como funciones de , el término "función'' no aparece en este artículo. Este término aparecerá hasta 1692 en otro artículo.
Antes de usar "cálculo diferencial'' había usado la expresión "methodus tangentium directa''. También "methodus tangentium inversa'' o "calculus summatorius'' para la integración definida y, en 1698, "calculus integralis'' (específicamente, en un artículo con Jean Bernoulli).
Fue en el año 1686 cuando Leibniz hizo una publicación sobre la integración donde recogía el símbolo "∫''. No obstante, ya había utilizado otros símbolos para la noción de integral: primero omn. y (todas las y), luego ∫y  y luego ∫ydx.

En 1675, usó la siguiente notación: 

omn. => quería decir suma (del latín omnia),
 
l => significa dy

Por ejemplo, omn.l = y queria decir en nuestra notación ∫dy=y y  

Para Leibniz: dy y dx representaban cantidades arbitrariamente pequeñas (diferenciales o infinitesimales), y con ellas iría construyendo tanto su cálculo integral (sumas) como su cálculo diferencial (cálculo de tangentes). Los símbolos de Newton se traduce como dx y dy en Leibniz.

Los trabajos de Leibniz tuvieron una gran repercusión y potenciaron un desarrollo muy rápido del cálculo con su enfoque. En muy poco tiempo, por ejemplo, y con la contribución relevante de los hermanos Bernoulli, se puede decir que se tenían los resultados básicos de lo que hoy se enseña en los cursos de cálculo universitario.

Posteriormente, Euler y otros matemáticos de la Europa continental darían continuidad a esta obra. Debe decirse que el enfoque de Newton, por medio de su teoría de fluxiones, tuvo un desarrollo más limitado con Taylor, Maclaurin y otros matemáticos británicos. Ya volveremos sobre esto.

Los símbolos “=” y “x” serían aceptados de manera dominante debido a su influencia. Los términos de función y coordenadas también son resultado de la labor de Leibniz.

Leibniz al igual que Newton también fue atacado por otros intelectuales de la época. El médico y geómetra Bernard Nieuwentijdt (1654 - 1718) en 1694 señalaba que había oscuridad en el trabajo de Leibniz y que no podía entender cómo diferían las "cantidades infinitamente pequeñas'' de 0, y preguntaba cómo una suma de infinitesimales podía dar algo finito. 

Bernard Nieuwentijdt

Debe decirse que ni Leibniz ni Newton pudieron ofrecer una gran precisión y mucha claridad lógica en los fundamentos de sus métodos en el cálculo diferencial e integral. Para ellos lo decisivo era la coherencia en sus resultados y la fecundidad de los nuevos procedimientos. Eso era suficiente para generar el progreso de esta nueva disciplina matemática.

La motivación fundamental de Leibniz por un método universal para obtener conocimiento, invenciones y mostrar o entender la unidad del mundo, la búsqueda por una ciencia general, una caracteristica generalis, lo colocó en la trayectoria del descubrimiento del cálculo.

La influencia de Leibniz sobre sus contemporáneos es directa. Por ejemplo, los hermanos Bernoulli realizaron un gran desarrollo de estos métodos. Un texto de cálculo apareció en el año 1696, titulado Analyse des infiniment petits, escrito por el marqués de L'Hôpital, que incluyó muchos resultados de Johann Bernoulli.

Algo relevante en Leibniz son sus contribuciones a la notación matemática. Influido por esa otra gran pretensión, aparte de una ciencia general, la creación de una lengua universal que impidiera los errores de pensamiento y redujera éste al cómputo, la lingua universalis, este brillante pensador dejó una herencia extraordinaria en la simbología de las matemáticas. Incluso, lo que ya mencionamos, el nombre de cálculo diferencial y cálculo integral encuentran su origen en él. Aunque se le atribuye su nombre a Leibniz las siguientes series fueron desarrolladas por James Gregory, quien contribuyó mucho al manejo de los procesos que lidiaban con el infinito: