Felix Klein fue asistente de Plücker en Bonn. En el
año 1872 se convirtió en profesor de la Universidad de
Erlanger. Fue precisamente en su conferencia inaugural en esta
institución que describió la relevancia de la teoría de grupos
para clasificar las diferentes especialidades y disciplinas
matemáticas.
Una vez que Klein
descubrió las posibilidades de los grupos, se dedicó mucho tiempo a
ello. Entre 1888 y 1893 escribió tres tomos sobre la teoría
de grupos de transformaciones; en particular, sistematizó las
transformaciones de contacto que había desarrollado el matemático
Lie, que permiten una correspondencia biunívoca entre rectas y
esferas del espacio euclidiano. De hecho, Sophus Lie fue un
gran matemático noruego que hizo grandes contribuciones en el
álgebra. En 1870 se encontró con el joven Klein en París y
juntos establecieron contactos con los matemáticos franceses,
entre ellos Camille Jordan. Precisamente aquí iniciaron su estudio
de la teoría de grupos y los trabajos de Galois (especialmente
el libro de Jordan: Traité des substitutions). Se afirma que
ambos matemáticos se dividieron el énfasis en su aproximación a
los grupos: Klein en los discontinuos, Lie se dedicó
enteramente al estudio de los grupos de transformaciones continuas y
sus invariantes (al igual que Klein, demostrando su relevancia como
principio de clasificación en las matemáticas).
La idea fundamental, expresada en lo que quedó para
la historia como el "Programa de Erlanger'',
fue considerar que
cada geometría era una teoría de los invariantes de un grupo
específico de
transformaciones. Las diferentes geometrías se
obtenían al ampliar o reducir el grupo. Por ejemplo,
la geometría
euclidiana se puede describir como el estudio de los invariantes de
un grupo métrico.
La geometría proyectiva de aquellos del grupo
proyectivo. Entonces: la teoría de invariantes
algebraicos y
diferenciales para cada grupo ofrecía la estructura analítica de
una geometría.
Veamos algunos ejemplos. Al usarse la definición
proyectiva de una métrica, la de Cayley en
particular, la geometría
métrica se podía analizar dentro de la geometría proyectiva. Si se
añade un
invariante cónico a la geometría proyectiva en el plano,
se obtienen las geometrías no euclidianas.
La topología, otro ejemplo, era en este tipo de
clasificación una teoría de los invariantes de las
transformaciones continuas de puntos.
Entonces, la teoría de grupos, generada por el
joven Galois, hizo posible una síntesis extraordinaria
del trabajo
geométrico y algebraico de Monge, Poncelet, Gauss, Cayley, Clebsch,
Grassmann y
Riemann. No obstante, debe decirse que fue la concepción
de espacio desarrollada por Riemann la
que se encuentra en la base
de esta clasificación y síntesis de la geometría en el siglo XIX.
Esta
nueva visión tuvo influencia en muchos otros matemáticos:
entre ellos, Helmholtz, Lie, Hilbert. Ya
retomaremos los trabajos de
estos científicos.
Una de las contribuciones de Klein fue también en
los planos educativo y social: potenció la
enseñanza y la
investigación de alta calidad en Göttingen, en la tradición de los
grandes
matemáticos del siglo XIX como Gauss, Dirichlet, Riemann, y
logró convertir esta universidad otra
vez en la Meca de las
matemáticas occidentales.
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