Las Matemáticas en Alemania | siglo XIX | Hilbert

También profesor en esa Meca de las matemáticas de la época, Göttingen, otro de los matemáticos universales, que utilizó su intelecto en diversos campos de manera fructífera, es más conocido por su intervención en el Congreso Internacional de Matemáticos de París, en 1 900: David Hilbert. En esta ocasión resumió la trayectoria y las perspectivas de las matemáticas al entrar el siglo XX, formulando 23 proyectos por desarrollar. Estos tocan los siguientes tópicos

En esta ocasión resumió la trayectoria y las perspectivas de las matemáticas al entrar el siglo XX, formulando 23 proyectos por desarrollar. Estos tocan los siguientes tópicos:

1. El problema de Cantor del número cardinal del continuo: la hipótesis del continuo.

2. La compatibilidad de los axiomas aritméticos.

3. La igualdad de 2 volúmenes de dos tetraedros de bases iguales y alturas iguales.

4. El problema de la recta como la distancia más corta entre dos puntos: geometrías

alternativas.

5. El concepto de Lie de un grupo continuo de transformaciones sin asumir la

diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.

6. Tratamiento matemático de los axiomas de la física.

7. Irracionalidad y trascendencia de ciertos números.

8. Problemas de números primos: la distribución de primos y la hipótesis de Riemann.

9. Prueba de la más general ley de reciprocidad en un cuerpo numérico.

10.Determinación de la solubilidad de un ecuación diofantina.

11.Formas cuadráticas sin ningún coeficiente numérico algebraico.

12.Extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a dominios de racionalidad

algebraicos.

13.Imposibilidad de la solución de la ecuación general de grado 7 por medio de funciones de

solo 2 argumentos, generaliza la imposibilidad de resolver la ecuación de grado quinto por

radicales. 

14.Prueba de la finitud de un sistema completo de funciones.
15.Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert.
16.Problema de la topología de curvas algebraicas y superficies.
17.Expresión de formas definidas por cuadrados.
18.Construcción de un espacio desde poliedros congruentes: cristalografía de grupos
dimensionales, dominios fundamentales, etc.
19.¿Son las soluciones de problemas regulares en el cálculo de variaciones siempre
necesariamente analíticas?
20.El problema general de los valores de frontera (problemas variacionales).
21.Prueba de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tienen un grupo
monodrómico prescrito.
22.Uniformización de las relaciones analíticas por medio de funciones automorfas.
23.Desarrollos adicionales de los métodos del cálculo de variaciones.

El primer problema, que ya lo hemos mencionado antes, posee dos partes. Por un lado, si hay un cardinal transfinito entre y c . Y, por otra parte, si el continuo numérico puede considerarse como un conjunto bien ordenado. Esto último está asociado al llamado "axioma de elección'' de Zermelo (Ernst Zermelo, 1871 - 1956).
Hilbert señala en su exposición de 1900:

"La pregunta que ahora emerge es si la totalidad de todos los números podrían no ser acomodados de otra manera tal que cada conjunto parcial pueda tener un primer elemento, i.e., si el continuo no puede ser considerado como un conjunto bien ordenado -una pregunta que Cantor piensa que debe ser respondida en forma positiva-. Me parece lo más deseable obtener una prueba directa de esta afirmación notable de Cantor, tal vez ofreciendo un arreglo de números tal que en cada sistema parcial un primer número pueda ser señalado.'' [Hilbert, D.: "Mathematical problems'', en Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 8, 1901 - 1902, pp 437-479]

El segundo problema refiere a la posibilidad de garantizar la consistencia de la aritmética, lo que el mismo Hilbert intentó realizar por medio de un programa muy ambicioso. Dice Hilbert:

"Por el otro lado, se necesitan un método directo de prueba de la compatibilidad de los axiomas aritméticos. Los axiomas de la aritmética son esencialmente nada más que las conocidas reglas de cálculo, con la adición del axioma de la continuidad. Recientemente los reuní y al hacerlo reemplacé el axioma de continuidad por 2 axiomas más simples, el bien conocido axioma de Arquímedes, y un nuevo axioma que en esencia dice: los números forman un sistema de cosas que no es capaz de mayor extensión, siempre y cuando los otros axiomas sean válidos (axioma de completitud). Estoy convencido que debe ser posible encontrar una prueba directa para la compatibilidad o de los axiomas aritméticos, por medio de un estudio cuidadoso y una modificación adecuada de los métodos conocidos de razonamiento en la teoría de los números irracionales.'' [Hilbert, D.: "Mathematical problems'', en Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 8, 1901 - 1902, pp 437-479]

El problema 7 refiere al estudio de la trascendencia de α^β, donde α es algebraico y diferente de 0 y de 1 y β es un irracional algebraico. Este problema fue resuelto en el año 1 934 por el matemático Aleksander Osipovich Gelfond (1906 – 1968): α^β es trascendente, en esas condiciones. Lo que no está claro es que expresiones α^β con ambos números trascendentes sean también en general trascendentes (hay casos en que sí: е^п).

Las matemáticas del siglo XX si bien en algunos casos siguieron sus propuestas de investigación, no obstante fueron mucho más lejos; alcanzaron dimensiones y profundidades difíciles de sospechar a finales del siglo XIX. 

Grundlagen der Geometrie

Otro de los trabajos de Hilbert con gran influencia fue condensado en el libro Grundlagen der Geometrie (1900), donde realiza un tratamiento axiomático formal de la geometría clásica, con lo  que precisa y determina los alcances y nuevas posibilidades de esta geometría, y cuya metodología  fue relevante en su búsqueda por fundamentar las matemáticas por medio de lo que se llamó  formalismo. De hecho, en lugar de los 5 axiomas y 5 postulados de Euclides, Hilbert utiliza 21  axiomas. Hilbert usa como objetos indefinidos los puntos, las rectas y planos, pero además 6  relaciones indefinidas: ser congruente, ser paralelo, ser continuo, estar sobre, estar en, estar entre.  Si bien no pretendemos incursionar en las matemáticas del siglo XX, debe mencionarse que se trata  de un escenario en que se potencia la abstracción matemática y la crítica de sus fundamentos. Bell  consigna:

"Las matemáticas del siglo XX se diferencian principalmente de las del siglo XIX en dos aspectos significativos. El primero es la tendencia deliberada hacia la abstracción, según la cual los  elementos importantes son las relaciones, y no las cosas que están relacionadas. El segundo es una  intensa preocupación por los fundamentos sobre los que descansa el total de la intrincada  superestructura de la matemática moderna. Se pueden aventurar de manera problemática que  cuando dentro de un siglo se escriba la historia de las matemáticas, si es que éstas llegan hasta  entonces, se recordarán los principios del siglo XX, principalmente, como la primera gran edad de  un saludable escepticismo en matemáticas, lo mismo que en otras muchas cosas.'' [Bell, E.T.:  Historia de las matemáticas, pp. 277-278.]