También ligados a la École Polytechnique, deben mencionarse los nombres de Joseph Fourier, Siméon Denis Poisson y Augustin Cauchy.
Los
trabajos de Poisson fueron variados y con una gran productividad:
ecuaciones diferenciales,
elasticidad, teoría del potencial,
probabilidades. Su obra Traité de mécanique (1811) prosigue
la
tradición de Lagrange y Laplace en el estudio de la mecánica
pero con la incorporación de
resultados propios importantes.
Orientado
hacia las aplicaciones de las matemáticas, Fourier ofreció una
teoría matemática de la
conducción del calor, con un método que
se convirtió en la fuente de los métodos modernos en la
física
matemática y que utiliza la integración de ecuaciones diferenciales
con condiciones de
frontera (con el uso de series trigonométricas).
Es, por supuesto, el creador de la serie de Fourier,
que se puede
aplicar a más funciones que, por ejemplo, la serie de Taylor, que
forman parte de
todos los cursos de cálculo y ecuaciones
diferenciales para ingenieros.
La
obra representativa de este matemático fue: Théorie analytique de
la chaleur (1822), libro
basado en ideas con las que había ganado
un premio de la Académie des Sciences varios años
antes. Aquí
Fourier analizó la ecuación diferencial del calor en 3
dimensiones:
donde x,y, z es la temperatura de un objeto en el tiempo y en el punto (x,y,z) Usando el método de la separación de variables, para resolver la ecuación, obtuvo representaciones en series trigonométricas de las soluciones.
Veamos lo que es la clásica serie de Fourier.
Si f es una función integrable en un intervalo [-Π,Π], los coeficientes de Fourier en ese intervalo son:
La serie de fourier de f en [-Π,Π] es :
Poisson,
publicó más de 400 trabajos y era en vida considerado un gran
profesor de matemáticas.
Estudió la electricidad y el magnetismo,
como parte de la física matemática, e hizo trabajos en la
mecánica
celeste y sobre la atracción entre esferoides. Lleva su nombre la
famosa "distribución'',
llamada también ley de los grandes
números, que refiere a un caso límite de una distribución binomial
de la forma
(p+q)n (donde
p+q = 1
y
n es el número de experimentos). Si
n tiende a
∞
y p tiende a 0, y permanece constante el producto
np, el caso límite
de la distribución
binomial es la distribución de Poisson o,
también se llama, la ley de los grandes números.
Lo ponemos de otra
manera, en lenguaje moderno de probabilidades: si
α
es un real positivo y
X es una variable
aleatoria que puede tomar valores 0, 1, 2, 3,..., y si la
probabilidad
P(x=k) se da
por
cuando k = 0,1,2,... la función de distribución Fx se llama "distribución de Poisson'' de parámetro
α.
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