Las Matemáticas en Francia | La segunda mitad del siglo XIX | Hermite, Darboux, Liouville

Hermite

Francia no se quedó atrás en la segunda mitad del siglo XIX; relevantes matemáticos hicieron importantes contribuciones: Charles Hermite, Gaston Darboux, Joseph Liouville. Este último, editor y organizador durante muchísimos años del Journal de mathématiques pures et appliquées, trabajó en varios campos que van desde la teoría aritmética de las formas cuadráticas de 2 y más variables, la mecánica estadística, hasta la demostración de la existencia de números trascendentes (un detalle: que el número ℮ y ℮² son raíces de una ecuación cuadrática con coeficientes racionales). También hizo contribuciones en la geometría diferencial de superficies.

Liouville había demostrado la existencia de números trascendentes. Veamos esto un poco más despacio.

Considere la ecuación 

Con n>0 y los coeficientes a₁ números enteros, entonces las raíces de esa ecuación se llaman números algebraicos. La pregunta que se planteó entonces fue si todos los números irracionales eran raíces de ecuaciones algebraicas, para algún n>2

Liouville

Liouville construyó en 1844 una clase de números no algebraicos: "de Liouville'' precisamente. Y esta clase es un subconjunto del conjunto de los números trascendentes.

Hermite demostró en 1873 que ℮ era trascendente (en un artículo de la revista Comptes Rendus), y Ferdinand Lindemann ("Über die zahl'', Mathematische Annalen) lo hizo con el número Π (Lambert en 1770 y Legendre en 1794 habían ya demostrado que era irracional). Es interesante la prueba de Lindemann. Mostró que si x es algebraico no se cumple la ecuación℮^ix+1=0. Euler había demostrado que Π satisfacía esa ecuación. Luego: Π.no podía ser algebraico.

Este resultado, además, demostró que no se podía lograr la cuadratura del círculo. ¿Por qué? Con las restricciones euclídeas, ésta obligaba a que fuera raíz de una ecuación algebraica (y además que se pudiera expresar por raíces cuadradas). Si Π no era algebraico, no había cuadratura del círculo.

El resultado de Hermite se llama "Teorema de Hermite''.

Hermite se considera como el mejor analista en Francia después de la muerte de Cauchy en el año 1857. Trabajó las funciones elípticas, funciones modulares, la teoría de números, la teoría de invariantes, y las funciones Theta. Uno de sus resultados fue una solución de la ecuación general de quinto grado por medio de funciones elípticas.

Hermite tuvo una fructífera relación con el matemático holandés T. J. Stieltjes. 

Darboux

Darboux, con un enfoque geométrico e intuitivo, hizo contribuciones en la geometría diferencial asociada con ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias y con la mecánica. Struik valora el papel de Darboux de la siguiente manera:

 "... con su habilidad administrativa y pedagógica, su fina intuición geométrica, su dominio de la técnica analítica, y su comprensión de Riemann, ocupó en Francia una posición algo análoga a la de Klein en Alemania''. [Struik: A concise..., p. 178]

Al final del siglo XIX y principios del XX se pueden citar varios matemáticos franceses importantes: René Baire, Emile Borel, J. S. Hadamard, H. L. Lebesgue y C. E. Picard.