Las Matemáticas en Alemania | siglo XIX | Riemann

Hijo de un pastor luterano, aunque nació enfermizo poseía una inteligencia precoz. Fue estudiante de Gauss en la Universidad de Göttingen y luego logró ser profesor de esa prestigiosa institución alemana. En Göttingen, obtuvo su doctorado en 1 851, fue Privatdozent en 1854 y profesor en 1959. Murió en 1866 a los 40 años. Influido por asuntos de naturaleza hidrodinámica, realizó su tesis sobre las funciones u + iv = f(x+iy) .Este trabajo condujo a las superficies de Riemann, concepto que abrió el camino de la intervención de la topología en el análisis (un primer artículo sobre topología apenas había sido publicado en 1847 por J. B. Listing). En 1857, al aplicar sus ideas a la hipergeometría y las funciones abelianas encontró una forma de clasificar estas últimas (con un invariante topológico). En la misma línea, trabajó en la aplicación de este tipo de ideas a superficies mínimas.

Cuando Riemann obtuvo la categoría de Privatdozent presentó dos artículos: uno sobre series trigonométricas y los fundamentos del análisis, el otro sobre los fundamentos de la geometría. El primer artículo estudió las condiciones de Dirichlet para expandir una función como serie de Fourier. En esta dirección, introdujo el concepto de "integral de Riemann''. De hecho, mostró que algunas funciones definidas por series de Fourier podían tener un número infinito de máximos o mínimos. Incluso dio ejemplo de una función continua sin derivadas. Con esos resultados el concepto de función se estableció con mayor precisión.

Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen

Fue Gauss quien le había dado a Riemann como tema de estudio los fundamentos de la geometría. El trabajo sin embargo no fue publicado sino hasta 1868 y fue intitulado Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Acerca de las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría). En este artículo se introduce el espacio como una variedad diferencial topológica con dimensiones. La métrica que definió en esta variedad se hacía por medio de una forma diferencial cuadrática. Esto es muy interesante. Riemann define aquí el carácter del espacio a partir de un comportamiento local, de la misma manera en que había hecho con la función compleja. Esto le permitió clasificar las formas de geometría que existían incluyendo las no euclidianas. Pero, también, le permitió la creación de nuevos tipos de espacio que han encontrado grandes aplicaciones en la física y la geometría. Este asunto lo desarrollaremos en el contexto de la creación de las geometrías no euclidianas.

En 1859, Riemann presentó un artículo donde analizó la cantidad de números primos menor que un cierto número x, F(x) . Para ello utilizó la teoría de números complejos y la distribución de F(x) números primos usando una sugerencia dada por Gauss de que logarítmica:

Este artículo contiene la famosa "hipótesis de Riemann'' sobre la función zeta de Euler ζ(s): para los complejos s=+iy posee todos los ceros no reales en la recta x=½