La figura más relevante es la de Carl Friedrich
Gauss. Nacido en la ciudad de Brunswick, fue
reconocido muy pronto
como un niño prodigio y encontró apoyo para sus estudios. Entre
1795 y
1798 estudió en Göttingen y obtuvo su doctorado en
matemáticas en Helmstädt. Su extraordinaria
mente obtuvo
resultados en los principales campos de las matemáticas del siglo
XIX con una
originalidad y profundidad que han hecho que se le llame
el "príncipe de las matemáticas''. Se sabe
a partir de su
diario personal, una de las joyas de la construcción intelectual y
el pensamiento, que
en el año 1795 ya había encontrado la ley de
reciprocidad cuadrática en la teoría de números
(independientemente de Euler).
Sus resultados en la teoría de números aparecieron
en uno de los más famosos libros de la historia
la matemáticas:
Disquisitiones Arithmeticae (1801). Aquí se introduce la prueba más
rigurosa hasta
ese momento del teorema fundamental del álgebra, que
establece que toda ecuación algebraica con
coeficientes reales
tiene al menos una raíz y, de hecho, posee
n raíces. Gauss dio
varias
demostraciones de este teorema a lo largo de su vida. El
corazón de esta obra es la teoría de las
congruencias cuadráticas,
formas y residuos, que culminan con la ley de residuos cuadráticos.
También considera la división del círculo, es decir, las raíces
de la ecuación
xn=1. Una de las
consecuencias de estos
trabajos fue la construcción de un polígono de 17 lados mediante
regla y
compás.
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| Disquisitiones Arithmeticae |
Gauss no abandonó la teoría de números en ningún
momento. Entre 1825 y 1831 publicó trabajos
sobre residuos
bicuadráticos que daban continuación a sus trabajos en las
Disquisitiones pero
usando la teoría de los números complejos.
Fue Gauss precisamente quien efectuó una
representación de los números complejos a través de
puntos en el
plano, dando pleno sentido a estos números en la conciencia de los
matemáticos.
Pero fueron muchos los intereses de Gauss. Por
ejemplo, la astronomía. De hecho, fue durante
muchos años director
del Observatorio Astronómico en Göttingen. Calculó la órbita del
planetoide
Ceres descubierto en 1801 (por medio de una ecuación de
grado 8). Al descubrirse un nuevo
planetoide, Pallas, estudió la
perturbación secular de los planetas, la atracción de elipsoides
generales, la cuadratura mecánica y en los siguientes años generó
varias obras relevantes en
astronomía, entre ellas Theoria motus
corporum coelestium (1 809).
Su trabajo en geodesia le permitió combinar
estudios prácticos y teóricos, puros y aplicados.
Retomó el
estudio del método de cuadrados mínimos, tema que ya había sido
considerado por
Legendre y Laplace. En 1827, publicó Disquisitiones
generales circa superficies curvas: otra obra
clásica.
Aunque con el transcurso de los años dedicó cada
vez más su concentración a las matemáticas
aplicadas, siempre
encontró el momento para realizar contribuciones teóricas de
primera línea. Por
ejemplo, en la década de 1830, interesado en
asuntos del trabajo experimental sobre magnetismo
terrestre, elaboró
una teoría sobre las fuerzas que actúan inversamente proporcionales
al cuadrado
de las distancias, tema que tocaba la teoría del
potencial como una rama separada de las
matemáticas.
Un resultado muy conocido en variable compleja es el
siguiente. En una curva cerrada simple, con
f(z) = w = x+yi una función compleja con derivada en todo punto de la curva y en el interior de ésta, entonces la integral de línea a lo largo de la curva es nula
Éste se suele llamar
teorema de la integral de Cauchy, también de Cauchy-Goursat.
Otra de los aportes
radicalmente originales de Gauss fueron las geometrías no
euclidianas, tema
que retomaremos luego.
Gauss había obtenido,
también, contribuciones en el tema de las funciones elípticas, que
son de la
forma:
Este es un tema que
también había trabajado durante muchos años Legendre, y antes
Euler. Gauss
había detectado la doble periodicidad de las funciones
elípticas, que también se llaman
"lemniscatas''. Se sabe que
esto lo había obtenido por lo menos desde 1800. Sin embargo, el
asunto
sería también descubierto tiempo después por Abel, 1827 -
1828, que lo publicó en el Journal de
Crelle.
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