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Las Matemáticas del siglo XVIII: Los Bernoulli



Los Bernoulli refieren a una de esas raras situaciones en la historia de las matemáticas: una misma familia a la cual pertenecieron muchas personas que contribuyeron a estas disciplinas con relevancia. Basilea, Suiza, es el lugar. Todo inicia con Nicolaus, padre de Jacob y de Johann. Jacob estudió teología y Johann medicina. Pero rápidamente se convirtieron en discípulos de Leibniz.

Jacob ocupó la cátedra de matemáticas de la Universidad de Basilea de 1687 a 1705, cuando muere.
Johann lo sucedió en ese puesto por más de 40 años. Antes había sido profesor en Groningen.
Jacob hizo importantes contribuciones a las coordenadas polares, el estudio de la catenaria, la lemniscata, y la espiral logarítmica, y trabajó con curvas que lo llevaron a asuntos en el cálculo de variaciones. Pero, además, trabajó las probabilidades: su Ars conjectandi (publicado en 1713) establece el "teorema de Bernoulli'' sobre las distribuciones binomiales y aquí aparecen los llamados "números de Bernoulli''. 
 
Johann trabajó muy asociado a su hermano y muchas de sus contribuciones son conjuntas. A partir del estudio de la curva braquistócrona se le considera el creador del cálculo de variaciones. Esta curva fue estudiada por Leibniz y los hermanos Bernoulli. Se construye a partir de dos puntos en un campo gravitacional: el movimiento de más rápido descenso de un punto masa que se mueve entre los dos puntos dados. A la solución se le llama la cicloide. 
curva braquistócrona

 
Johann tuvo dos hijos: Nicolaus y Daniel, el primero murió joven (aunque llegó a plantear lo que se llama la "paradoja de San Petersburgo''), y el segundo contribuyó a la astronomía, la física y la hidrodinámica (en su libro Hydrodynamica, 1738, estableció la teoría cinética de gases). Fue profesor también en la Universidad de Basilea hasta 1777. 
Hydrodynamica, 1738

 
En 1696, en la revista Acta Eruditorum, Johann Bernoulli presentó un reto para resolver un problema: "Sean dos puntos A y B en un plano vertical. Se trata de encontrar la curva que debe seguir un punto M que se mueve sobre AMB tal que comienza en y alcanza en el tiempo más corto bajo su propia gravedad'' [Struik: A source book ..., p. 392]. En 1697 dio una solución en un artículo que se titulaba: "Curvatura radii in diaphanis non uniformibus'', en la misma Acta Eruditorum. El llamó a la curva solución la brachystocrona. Se trata de una cicloide. En el mismo número de esa revista se publicó una solución dada por su hermano Jakob: " Solutio problematum fraternorum ... una cum propositione reciproca aliorum''. Otras soluciones fueron ofrecidas incluso en esa revista por Leibniz, L'Hôpital, Tschirnhaus y Newton. En estos artículos se inicia el cálculo de variaciones. 



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