Los Bernoulli refieren a
una de esas raras situaciones en la historia de las matemáticas: una
misma familia a la cual pertenecieron muchas personas que
contribuyeron a estas disciplinas con relevancia. Basilea, Suiza, es
el lugar. Todo inicia con Nicolaus, padre de Jacob y de Johann. Jacob
estudió teología y Johann medicina. Pero rápidamente se
convirtieron en discípulos de Leibniz.
Jacob ocupó la cátedra
de matemáticas de la Universidad de Basilea de 1687 a 1705, cuando
muere.
Johann lo sucedió en ese
puesto por más de 40 años. Antes había sido profesor en Groningen.
Jacob hizo importantes
contribuciones a las coordenadas polares, el estudio de la catenaria,
la
lemniscata, y la espiral logarítmica, y trabajó con curvas que
lo llevaron a asuntos en el cálculo de
variaciones. Pero, además,
trabajó las probabilidades: su Ars conjectandi (publicado en 1713)
establece el "teorema de Bernoulli'' sobre las distribuciones
binomiales y aquí aparecen los
llamados "números de
Bernoulli''.
Johann trabajó muy
asociado a su hermano y muchas de sus contribuciones son conjuntas. A
partir
del estudio de la curva braquistócrona se le considera el
creador del cálculo de variaciones. Esta
curva fue estudiada por
Leibniz y los hermanos Bernoulli. Se construye a partir de dos puntos
en un
campo gravitacional: el movimiento de más rápido descenso de
un punto masa que se mueve entre
los dos puntos dados. A la solución
se le llama la cicloide.
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| curva braquistócrona |
Johann tuvo dos hijos:
Nicolaus y Daniel, el primero murió joven (aunque llegó a plantear
lo que se
llama la "paradoja de San Petersburgo''), y el segundo
contribuyó a la astronomía, la física y la
hidrodinámica (en su
libro Hydrodynamica, 1738, estableció la teoría cinética de
gases). Fue
profesor también en la Universidad de Basilea hasta
1777.
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| Hydrodynamica, 1738 |
En 1696, en la revista
Acta Eruditorum, Johann Bernoulli presentó un reto para resolver un
problema: "Sean dos puntos
A y
B en un plano vertical. Se
trata de encontrar la curva que debe
seguir un punto
M que se mueve
sobre
AMB tal que comienza en y alcanza en el tiempo más
corto
bajo su propia gravedad'' [Struik: A source book ..., p. 392]. En
1697 dio una solución en un
artículo que se titulaba: "Curvatura
radii in diaphanis non uniformibus'', en la misma Acta
Eruditorum.
El llamó a la curva solución la brachystocrona. Se trata de una
cicloide. En el mismo
número de esa revista se publicó una
solución dada por su hermano Jakob: " Solutio problematum
fraternorum ... una cum propositione reciproca aliorum''. Otras
soluciones fueron ofrecidas incluso
en esa revista por Leibniz,
L'Hôpital, Tschirnhaus y Newton. En estos artículos se inicia el
cálculo
de variaciones.
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