Las Matemáticas en Francia | La segunda mitad del siglo XIX | Poincaré

Se considera, sin embargo, como el matemático más importante de la segunda mitad del siglo XIX al profesor de la Sorbone, en París, Henri Poincaré, uno de los matemáticos universales, que trabajó prácticamente en todos los temas importantes de las matemáticas de su tiempo. En la física matemática: teoría del potencial, electricidad, conducción de calor, electromagnetismo, hidrodinámica, mecánica celeste, termodinámica, probabilidades, etc.; en las matemáticas puras: funciones fuchsianas automórficas, ecuaciones diferenciales de topología, fundamentos de la matemática, etc.

Hizo la observación de que los sistemas determinísticos pueden ofrecer un comportamiento caótico, lo que dio por ejemplo, una campanada de lo que se llamaría, más adelante, la teoría del caos.

Una de sus más conocidas contribuciones a las matemáticas fue la teoría de las funciones automorfas. Estas son generalizaciones de las funciones trigonométricas o de las elípticas. f(z) es automorfa si es analítica en un dominio A, salvo en sus polos, y resulta invariante bajo el grupo infinito numerable de transformaciones lineales de la forma

Entre sus aplicaciones, aparecen en la solución de ecuaciones diferenciales lineales de segundo  orden con coeficientes algebraicos.
Los historiadores de las matemáticas afirman que el corazón del trabajo de Poincaré se encuentra  en la mecánica celeste, a partir de la cual aportó resultados en las series divergentes, la teoría de expansiones asintóticas, los invariantes integrales, la estabilidad de órbitas, etc. Publicó: Les  méthodes nouvelles de la mécanique céleste (1892 - 1899, en tres volúmenes), y Leçons de  mécanique céleste (1905 - 1910, otros 3 volúmenes). Se compara el espíritu intelectual de Poincaré  con el de Laplace en la mecánica.

Para Struik: "Poincaré era como Euler y Gauss; en todo en lo que nos le acercamos encontramos un estímulo a la originalidad. Nuestras teorías modernas sobre relatividad, cosmogonía, probabilidad y topología fueron todas vitalmente influidas por el trabajo de Poincaré''. [Struik: A concise..., p. 179]