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Las matemáticas del siglo XVIII: Euler



 fue el matemático más prolífico de todos los tiempos. Sus cerca de novecientos trabajos científicos y más de 3000 cartas profesionales condensan casi todos los asuntos matemáticos del siglo XVIII
Los Bernoulli tuvieron una contribución adicional. Euler, quien había nacido en Basilea, Suiza, en 1707, comenzó sus estudios superiores en la Universidad de Basilea en 1720. Allí se relacionó con Jean (o Johann) Bernoulli. El padre de Euler había estudiado matemáticas, precisamente, con Jacob Bernoulli. En 1725, Euler fue a San Petersburgo recomendado por Nicolaus el hijo de Johann para trabajar en la Academia. En 1741, dejó San Petersburgo, donde había inestabilidad política, y fue hacia la Academia de Berlín (Alemania), de reciente formación por el concurso de Federico el Grande; estuvo entre 1741 y 1766. Luego, volvió a San Petersburgo y permaneció entre 1766 - 1783. Euler terminó su vida ciego, en 1735 perdió un ojo, y el otro en 1766 (a pesar de esto, en este periodo completó la mitad de sus obras). 
Antigua Universidad de Basilea

Leonhard Euler, junto con Cauchy, fue el matemático más prolífico de todos los tiempos. Sus cerca de novecientos trabajos científicos y más de 3000 cartas profesionales condensan casi todos los asuntos matemáticos del siglo XVIII, en matemáticas aplicadas y puras. Su obra incluye no solo artículos o libros científicos sino también textos y síntesis integradoras de temas, que evidencian una gran disposición a la enseñanza y una vocación social importante. Euler publicaba libros de alta calidad a una velocidad de unas 800 páginas por año. Sin duda, fue el matemático más relevante del siglo XVIII.  
La obra de este insigne matemático ofrece la posibilidad de apreciar la extraordinaria cantidad y diversidad de las aplicaciones de las matemáticas y en particular del cálculo. Escribió sobre las ecuaciones diferenciales, geometría analítica y diferencial de curvas y superficies, series y cálculo de variaciones. También en las aplicaciones, Euler calculó la perturbación de los cuerpos
celestes en la órbita de un planeta y la trayectoria de proyectiles lanzados en medios con resistencia determinada. También estudió la propagación del sonido y la consonancia y disonancia musicales. Algo que a veces no se conoce, Euler fue el único de los científicos del siglo XVIII que afirmó el carácter ondulatorio de la luz y no corpuscular, analizó el calor precisamente como una oscilación molecular. Euler describió con ecuaciones diferenciales el movimiento de un fluido (ideal) y aplicó su modelo incluso a la circulación sanguínea.
Escribió libros de texto, por lo que en muchos asuntos estableció la forma y la notación que han subsistido  hasta nuestros días, como es el caso de nuestra trigonometría que se basa en valores y razones trigonométricas y el tipo de notación que todavía usamos. Euler estableció con sus textos un modelo por seguir por centenares de años en la mecánica, álgebra, análisis matemático, geometría diferencial y cálculo de variaciones.
Sobre el cálculo de variaciones, con base en los trabajos de los Bernoulli en el estudio de  problemas isoperimétricos, Euler buscó una teoría general, que publicó en 1744: " Methodus  inveniendi lineas curvas maximi minimive
propietate gaudentes sive solutio problematis  isoperimetrici latissimo sensu accepti'' (``Un método para descubrir líneas curvas que tienen la  propiedad de un máximo o mínimo o la solución del problema isoperimétrico tomado en su sentido  más amplio''). Este sería perfeccionado y presentado de la manera que hoy se conoce por Lagrange.
Con los trabajos de Euler, los resultados y métodos de Newton y Leibniz se integraron en el análisis, conceptualizado este último como aquel campo matemático que trata del estudio de los procesos infinitos

Para algunos historiadores de las matemáticas, Euler hizo por el cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz lo que había hecho Euclides por la geometría de Eudoxo y Teeteto, o Vieta por el álgebra de al-Khwarizmi y de Cardano. Con los trabajos de Euler, los resultados y métodos de Newton y Leibniz se integraron en el análisis, conceptualizado este último como aquel campo matemático que trata del estudio de los procesos infinitos.
Una de las obras magistrales en la que realiza este gran trabajo de síntesis y ampliación del cálculo infinitesimal fue Introductio in analysin infinitorum, publicada en 1 748. En este Introductio, dos volúmenes, cubre una gran cantidad de temas. Desde las series infinitas para funciones como ex, cos h, y sen x, el tratamiento de curvas con ecuaciones (geometría analítica), la teoría de la eliminación, la función Zeta en su relación con la teoría de números primos. En este libro se introduce la famosa relación:

El cálculo diferencial e integral, la teoría de las ecuaciones diferenciales (con la distinción entre lineales, homogéneas, exactas), el Teorema de Taylor con aplicaciones, las integrales eulerianas Γ y B, se encuentran en otros textos clásicos: Institutiones calculi differentialis (1755) e Institutiones calculi integralis (1768 - 1774, 3 volúmenes). 
La dinámica de Newton para los puntos masa desarrollados por métodos analíticos se encuentra en el texto: Mechanica, sive motus scientia analytice exposita (1736). Sobre los cuerpos sólidos: Teoría motus corporum solidorum seu rigidorum de 1765. El álgebra, en 1770: Vollständige Anleitung zur Algebra. En este último se desarrolló la teoría de ecuaciones cúbica y bicuadrática y las ecuaciones indeterminadas. 
Sus trabajos en astronomía (Teoria motus planetarum et cometarun 1774), Optica (Dioptrica, 1769 - 1771), teoría de números, hidráulica, artillería, y otros campos reflejan la inteligencia y  dedicación de este gran científico suizo.
Muchas de las distinciones, presentaciones, notaciones, etc. desarrolladas por Euler han quedado  tal  cual hasta nuestros días, como, por ejemplo, en la trigonometría.
El concepto central con el que Euler va a construir el nuevo análisis es precisamente el de función. 
Esta idea, que ya había estado presente de manera intuitiva en otros matemáticos previos, va a adquirir la relevancia teórica de las matemáticas modernas. Para Euler una función es "cualquier expresión analítica formada con la cantidad variable y con números o cantidades constantes''. 
La definición hacía referencia a funciones algebraicas, construidas por medio de las 4 operaciones
fundamentales y la extracción de raíces, y las funciones trascendentes elementales ( log x,ex , sen x, etc.)

L'Hôpital
El concepto de función y las funciones algebraicas y trascendentes elementales ya habían sido  introducidas en el siglo XVII. En la consideración de varios problemas clásicos, Leibniz, Jacques (Jakob), Jean (Johann) Bernoulli, L'Hôpital, Huygens y Pierre Varignon usaron funciones conocidas y construyeron muchas otras de mayor complejidad.
Euler  definió  las  funciones:

Euler hizo un tratamiento completo y sistemático de las funciones trigonométricas que habían recibido ya un tratamiento en forma de serie. Eso lo realizó en un artículo del año 1748 sobre las  desigualdades en los movimientos de Júpiter y Saturno.
Euler estableció una diferenciación entre las funciones de acuerdo con la forma en que se combinan
las variables y constantes que ellas poseen. Las funciones trascendentes realizan un número infinito de las combinaciones que realizan las algebraicas. Esto establecía que las funciones trascendentes se podían expresar por medio de series infinitas. Fue precisamente esta noción de función reducida a una expresión analítica finita o infinita la que, con el tiempo, se fue generalizando hacia la idea de la función, simplemente como una combinación de operaciones, independientemente de las  operaciones involucradas. Es el sentido que ya se encuentra en los años 1797 y 1806 en el trabajo del matemático francés Lagrange.
Lagrange
Con base en este tipo de trabajos, rápidamente fueron construidas integrales elípticas indefinidas, la función gama y otras más.
Fue también en el siglo XVIII que se desarrolló el cálculo en funciones de dos y tres variables. Aunque Newton, Jean y Nicolaus Bernoulli habían realizado la diferenciación en funciones de 2 variables, la teoría fue plenamente desarrollada por varios matemáticos: Alexis Fontaine de Bertins (1705 - 71), Euler, Clairaut y d'Alembert. Al principio se usó el mismo signo para expresar la derivada. La idea era simple: efectuar la derivada sobre una variable dejando como constantes las otras. La derivación "parcial'' (para una variable) tuvo mucha relevancia en las ecuaciones diferenciales. En relación con asuntos de hidrodinámica, en los que aparecían las ecuaciones diferenciales, Euler hizo un amplio tratamiento de la derivación parcial. En 1734, por ejemplo,  Euler mostraba que si  z =f(x,y) entonces

Entre 1744 y 1745, d'Alembert extendió el cálculo de las derivadas parciales (trabajando en  dinámica).
Euler hizo un gran trabajo en el progreso de las matemáticas aplicadas, las que se puede decir  efectivamente que nacieron realmente con el mismo Newton:
"Las modernas matemáticas aplicadas se originaron en la teoría de la gravitación universal que  Newton desarrolló en sus Principia. Antes de Newton la astronomía era puramente descriptiva. Se describían cada vez con mayor precisión los movimientos de los planetas, y se les acoplaba desde los babilónicos a Tolomeo en marcos geométricos de complejidad cada vez mayor, Copérnico simplificó su geometría. Pero no había ninguna hipótesis física que se resumiera y consolidara en postulados de los que poder deducir aquella geometría. Se necesitaban observaciones precisas para establecer bien los hechos antes de poder enunciar con provecho dichos postulados. Esas observaciones las suministró abundantemente Tycho Brahe (danés, 1546 - 1601) cuyo laborioso ayudante durante algún tiempo, Juan Kepler (alemán, 1571 - 1630), resumió las observaciones de  las tres leyes que llevan su nombre.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 170.]
A pesar de todo y como siempre sucede en la construcción científica o intelectual, algunos de sus resultados o suposiciones han resultado ser imprecisos o equivocados. Por ejemplo, algunas de sus  series infinitas no son convergentes, a pesar de que Euler así las consideró. Fue característico de  todo el siglo XVIII un manejo muy liberal de los procesos infinitos, y por lo tanto sin mucha  precisión en los criterios de convergencia. De igual manera, el manejo de los infinitesimales: había -según Euler- órdenes infinitos de pequeñas cantidades que son todas 0 pero que se deben  distinguir.
El asunto en juego aquí era el del paso al límite y la fundamentación del cálculo. Fue d'Alembert  quien introdujo el término "límite'' para expresar el acercamiento de una cantidad a otra dada y  consideraba que diferenciar refería a un límite de la razón de diferencias finitas de 2 variables  dentro de una ecuación dada. No tuvo mucho éxito entre sus contemporáneos; las críticas de  Berkeley contra Newton o de Nieuwentijdt contra Leibniz pesaron mucho en la época. 

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