Platón | Estrecha relación entre Filosofía y Matemática

El principal discípulo de Sócrates fue Platón, quien también afirmaba que la filosofía moral era más importante que la ciencia, aunque no en el caso de las matemáticas. Estuvo también influenciado por la visión de Parménides que niega a los sentidos la posibilidad de generar conocimiento, y también por los pitagóricos, tanto en la epistemología como en su valoración sobre los números.

Esto último se puede ver por ejemplo en la cosmología que desarrolla en el Timeo.

Podemos decir que una combinación de tanto la visión heredada de Sócrates como la influencia de Parménides y Pitágoras se encuentra a la base de la "teoría de las formas'' también llamado teoría de las Ideas.

 Platón estableció con claridad el carácter abstracto de las matemáticas y sus entidades, y las vinculó a otras como la justicia y bondad

Después de los sofistas, fueron Platón (427 - 347 a.C.) y sus discípulos los que asumieron un papel decisivo en la Atenas antigua. Se presume que Teodoro de Cirene (c. 470 a.C.) y Arquitas de Tarento (428 - 347 a.C.), ambos pitagóricos, enseñaron matemáticas a Platón. Esta influenci  específica debe ser tomada en cuenta a la hora de interpretar la historia de la filosofía y las matemáticas griegas.
Platón estableció con claridad el carácter abstracto de las matemáticas y sus entidades, y las vinculó a otras como la justicia y bondad, y, también, afirmó las matemáticas como una preparación para la filosofía y para el conocimiento de un mundo ideal que era considerado el único verdadero.
Platón distinguió entre los objetos físicos y los entes abstractos como en las matemáticas, declaró que el mundo físico era imperfecto, más bien, una realización imperfecta de un mundo ideal perfecto: el único que vale la pena estudiar. El conocimiento infalible solo puede serlo sobre ese mundo ideal, cuyos entes y relaciones son permanentes, incorruptibles y eternas. 

Hipócrates de Quíos

Es en este contexto intelectual que se deben explicar dos de los supuestos aportes de la escuela platónica: el método analítico y el método de reducción al absurdo. En el primero se busca de partir de lo que se trata de demostrar y para extraer consecuencias hasta encontrar una verdad o una contradicción. Si se llega a una contradicción, lo que se supuso se asume como demostrado que era falso. Si se llega a una verdad, hay demostración de verdad, y solamente se revierte el proceso hacia atrás, para llegar a lo supuesto. El método indirecto de reducción al absurdo se le atribuye también a Hipócrates de Quíos. 

Para Platón, el conocimiento debe organizarse de manera deductiva. Podemos decir que fue este filósofo quien sistematizó estas reglas para la demostración rigurosa. Es decir: organización deductiva a partir de verdades conocidas. Esto es realmente importante. Puede dársele todo el crédito a Platón o no, aquí y para toda la historia de la ciencia y las matemáticas, la realidad es que se estaba estableciendo una metodología para la creación del conocimiento matemático. Pero de una manera en que se eliminaban procedimientos y hechos aceptados en las matemáticas desde siglos antes de los griegos, que hacían referencia a la heurística, la intuición, la inducción, la exploración sensorial, la vinculación con lo empírico, etc.

Entonces, a partir de premisas filosóficas específicas se estaban definiendo los límites y los métodos de las matemáticas: es éste un ejemplo de una auténtica construcción social, histórica, de una disciplina cognoscitiva, con todos los factores que suelen participar.

Ahora bien, la pregunta que emerge es acerca de la razón para este extraordinario énfasis en la deducción. Es uno de los temas más apasionantes de la filosofía de las matemáticas. Una opinión que se suele ofrecer es la relación estrecha entre filósofos y matemáticos, los primeros en busca de obtener verdades, es decir, resultados libres del error, de lo probable, de lo simplemente aproximado. La deducción permitía obtener resultados verdaderos, seguros. La inducción o la experimentación no lo permitían.

Otra razón que tuvo que haber jugado un papel es el descrédito que se creó en torno a las actividades prácticas y mecánicas. En la época de Platón las prácticas materiales ordinarias, comerciales, artesanales, eran colocadas en una posición social menos relevante. Una ideología favorecida en un momento político y cultural dominado por visiones aristocráticas, elitistas, en una Atenas recién derrotada por Esparta en las guerras del Peloponeso.

Puede decirse que a partir de este momento se estableció la deducción como el método exigido, exclusivo, de las matemáticas. Y es esta situación la que, podemos decir, creó una distinción específica en la naturaleza de las matemáticas.

Entonces, algunos de los límites y las características propias de la construcción matemática en estos términos fueron un producto del llamado periodo clásico de la civilización griega; aquí la influencia filosófica ejercida por la escuela de Platón, sin haber sido la única, tuvo una especial relevancia. 

Un detalle importante refiere más bien a la astronomía en Platón, que subrayó el valor del círculo y la esfera, como consignan Rioja y Ordóñez: 

“Si los movimientos de los astros son susceptibles de ser conocidos racionalmente y la astronomía como ciencia es posible, entonces quiere decirse que sus movimientos son ordenados, aunque la observación directamente no lo ponga de manifiesto. Luego, bajo los movimientos irregulares aparentes ha de ser posible encontrar los verdaderos movimientos regulares. En el Cielo ni hay ni puede haber astros errantes, que recorran cada vez un camino distinto. El Sol, la Luna y los planetas, aunque en apariencia describan trayectorias sin figura precisa, en realidad se hallan sometidos a la necesidad de una ley inalterable, como inalterables son las propiedades de las figuras geométricas.

La astronomía está estrechamente emparentada con la geometría. Su objeto es el estudio de los sólidos en movimiento. El problema que se plantea es cuál sea la figura más adecuada a dichos sólidos y al movimiento que realizan. La respuesta no puede ser otra que la figura más simétrica, es decir, la más capaz de no verse alterada cuando es sometida a ciertas transformaciones como, por ejemplo, el giro. Y esa figura es desde luego la esfera (en tres dimensiones) y el círculo (en dos). En definitiva, la figura perfecta es la esfera y el movimiento perfecto es el circular.''

[Rioja, Ana y Ordóñez, Javier: Teorías del universo. Volumen I. De los pitagóricos a Galileo, pp. 35-36] 

Más aun, siempre para Platón:

"... los fenómenos terrestres (a diferencia de los celestes) no parecían esconder la menor regularidad, el más mínimo orden y, por tanto, no eran susceptibles de ser conocidos racionalmente. De la Tierra no podía haber ciencia. La física, a diferencia de la astronomía geométrica, no era una ciencia porque no es posible conocer lo que está en incesante cambio.''

[Rioja, Ana y Ordóñez, Javier: Teorías del universo. Volumen I. De los pitagóricos a Galileo, p. 36.]

Platón consideraba las observaciones y los experimentos sin valor o incluso dañinos. Sin embargo, él consideraba que las matemáticas ofrecían una certeza que permitía integrar las ideas puras; las matemáticas resultaban un instrumento pedagógico esencial para la mente, permitía potenciar el razonamiento abstracto necesario para comprender las formas. Esto es relevante.
La colocación de las matemáticas en esta posición privilegiada en la actividad científica fue un factor que extendió la influencia pitagórica en torno a las matemáticas griegas y, eventualmente, contribuiría al papel jugado por las matemáticas en la ciencia moderna.