Las Matemáticas en Francia | Siglos XVIII y XIX | En torno a la Revolución | Lagrange

Otro de los grandes matemáticos de este siglo fue Joseph Louis Lagrange de origen italiano y francés, nacido en Turín. Estuvo durante 20 años en la Academia de Berlín, en el periodo que Euler volvió a San Petersburgo. De hecho, fue recomendado por Euler y d'Alembert a Federico el  Grande.

Luego se incorporó a la École Normale y la École Polytechnique en Francia.

Lagrange desarrolló un cálculo de variaciones con métodos exclusivamente analíticos, con lo que simplificó el trabajo de Euler, y aportó nuevos resultados. Este método apareció en "Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies'', en 1760 - 1761. En este trabajo Lagrange hace un recuento del problema por resolver:

"El primer problema de esta clase solucionado por los geómetras es el de la Brachystocrona, o línea de descenso más rápido, la cual el señor Jean Bernoulli propuso hacia el final del último siglo. Fue resuelto solo para casos particulares, y no fue sino hasta algún tiempo después, en ocasión de las investigaciones sobre Isoperimetrica, que el gran geómetra que mencionamos y su ilustre hermano el señor Jacques Bernoulli dieron algunas reglas generales para resolver muchos otros problemas del mismo tipo. Pero puesto que estas reglas no eran suficientemente generales, todas estas investigaciones fueron reducidas por el famoso Sr. Euler a un método general, en un trabajo titulado Methodus inveniendi ..., un trabajo original que en todas partes irradia un profundo conocimiento del cálculo. Sin embargo, por más ingenioso y fértil que su método sea, debemos reconocer que no tiene la simplicidad que podría desearse en un asunto del análisis puro.'' [Lagrange, J. L.: "Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies'', en Struik, D.: A source book ..., p. 407]

Algunos de los resultados de Lagrange: la teoría de la luna, soluciones al problema de los tres cuerpos, métodos de separación de raíces reales de una ecuación algebraica y de su aproximación por medio de fracciones continuas, funciones de raíces y sus permutaciones, y la teoría de números donde Lagrange estudió los residuos cuadráticos.

Sus obras fundamentales fueron: Mécanique analytique (1788), Théorie des fonctions analytiques (1797), Leçons sur le calcul des fonctions (1801). Lagrange trató de reducir el cálculo al álgebra en estos dos últimos libros. De hecho, se separó de Newton y de d'Alembert en su aproximación a los fundamentos del cálculo buscando su fundamento en el álgebra de series. Pensó que se podía expresar toda función como una serie, como la de Taylor, lo que resulta equivocado, debido a la divergencia de muchas series.

No obstante, se le reconoce un tratamiento abstracto de la función, que aplicó a diversos asuntos de álgebra y geometría.

Ahora bien, su enfoque aplicado a la mecánica de puntos y cuerpos sólidos, como hace en la Mécanique analytique, con resultados de Euler, d'Alembert y otros matemáticos, ofrece una reformulación algebraica del trabajo realizado con énfasis geométrico por Newton.

Tal vez, la contribución más importante de Lagrange estuvo en el cálculo de variaciones, nombre que deriva precisamente de algunas notaciones que él utilizó desde el año 1760. La idea básica consiste en encontrar tal que la integral sea máxima o mínima. Se sabe que Lagrange había comunicado a Euler, en 1765, sus ideas en torno a este asunto, y Euler decidió atrasar la publicación de sus propios resultados para darle el crédito a Lagrange. También introdujo un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, usando el método de variación de parámetros; usó los llamados "multiplicadores de Lagrange'' para determinar extremos de funciones de varias variables con restricciones.