A principios del siglo
XVI, el cero y los irracionales se aceptaban, más o menos en la
tradición de
los árabes e hindúes. Cardano, Stevin, Pacioli y el
alemán Michael Stifel introdujeron nuevos tipos
de irracionales.
Vieta dio una aproximación del número
usando otras formas de
irracionales.
Stifel en su obra Aritmética Integra de 1 544 usó
irracionales en forma decimal, aunque tenía sus
dudas acerca de la
naturaleza de los mismos, a los que no consideraba exactamente
números de
verdad.
Las dudas sobre los
irracionales siguieron por siglos. Pascal y Barrow opinaron que
números como
la
eran simplemente magnitudes geométricas, o sea
eran símbolos sin existencia
independiente más allá de esas
magnitudes, y acudían a la teoría de las magnitudes de Eudoxo para
justificar la operación con ellos. Stevin, por el contrario,
afirmaba que los irracionales eran
números independientes, e
incluso los aproximó por medio de números racionales. En la misma
dirección, John Wallis y Descartes llegarían a afirmar que los
irracionales eran números.
Un tanto similar ocurría
con los números negativos. En los siglos XVI y XVII matemáticos
como
el mismo Stifel afirmaron que eran números absurdos. Cardano
obtuvo números negativos en
algunas ecuaciones, pero no los
consideraba números; es más, afirmaba que eran absurdos,
ficticios. Vieta los descartó completamente. Pascal consideraba un
sin sentido restar 4 al 0. Descartes sí los aceptó,
aunque solo en parte (a las raíces negativas las llamaba falsas).
En la solución de
ecuaciones cuadráticas y al usar la raíz cuadrada los matemáticos
de la época se toparon con otros números aun más problemáticos:
los complejos. Por ejemplo, Cardano al resolver
la ecuación
x(10-x)=40 encontró raíces complejas.
Algo similar ocurrió con
Bombelli quien incluso llegó a formular las cuatro operaciones con
los
complejos en la forma actual. Pero tanto Cardano como Bombelli
consideraban que se trataba de
algo sin utilidad y de naturaleza
sofística.
Aunque no tuvo mucha
influencia en su tiempo, Albert Girard le dio valor a los complejos
como
soluciones formales de ecuaciones.
Descartes, a pesar de la
gran amplitud de miras que siempre exhibía, rechazó a los
complejos, no
eran números verdaderos, y dijo que eran imaginarios,
término que se quedaría como consignación
de estos números. Para
Newton se trataba de raíces imposibles.
Sea como sea, el uso de
métodos algebraicos expandió las fronteras de lo que debía
considerarse
números. El proceso, sin embargo, tomó mucho tiempo
para esclarecerse plenamente.
 |
| Bombelli |
Otro resultado de la
época fue el uso de las fracciones continuas. Por ejemplo, Bombelli
las usó
para aproximar raíces cuadradas (Algebra, 1 572), y,
algunas décadas después, John Wallis para
representar
Arithmetica
Infinitorum, 1 655). Debe recordarse que los hindúes habían
trabajado mucho las
fracciones continuas para resolver ecuaciones
indeterminadas.
Dos
obras aritméticas tuvieron influencia durante los siglos XV y XVI:
Triparty en la science des
nombres de Nicolás Chuquet (francés) y
la Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et
proportionalita
de Luca Pacioli (1445 - 1514).
 |
| Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et
proportionalita |
En
cuanto al primero, no se sabe cuánto es original de éste, y trata
de las operaciones aritméticas
racionales con números, incluye el
estudio del sistema de numeración hindú-árabe. Hay,
también,
resolución de ecuaciones. Aunque este libro no fue
publicado hasta 1 880, se sabe que Etienne de la
Roche publicó en 1
520 y 1 538 un libro que contenía mucho del libro de Chuquet
(Larismetique
nouvellement composee).
El
segundo libro era un compendio de aritmética, álgebra, geometría
elemental y contabilidad (de
doble entrada). Tampoco se puede decir
que fuera original, no cita fuentes, por ejemplo. En su
parte
aritmética, explica métodos para multiplicar y hallar raíces
cuadradas, en la de álgebra da las
soluciones normales para
ecuaciones lineales y cuadráticas.
Mientras
tanto, en el álgebra no se daría ningún desarrollo durante el
Renacimiento hasta el trabajo
de Cardano (Ars Magna, 1 545). No
obstante, debe mencionarse el trabajo de Pacioli: Summa de
Arithmetica, Geometria, Proportione et Proportionalita, 1 494, una
recopilación de conocimientos y
aplicaciones prácticas que, sin
embargo, no tenían mucho más que lo que contenía el Liber Abaci
de Leonardo de Pisa en 1 202. Podemos afirmar que:
"Parece
haber consenso entre los historiadores de este periodo en que las
matemáticas del
Renacimiento se caracterizaron por el desarrollo
del álgebra, no siguiendo el influjo geométrico
griego, sino más
bien las tradiciones medievales. Aunque las ciudades italianas
sirvieron para la
penetración de la ciencia árabe y griega antigua,
también debe reconocerse la existencia de trabajos
germánicos
en el álgebra. Una de las más importantes de éstas fue la
Aritmética íntegra de Stifel
(un tratado del álgebra muy completo
de lo que existía en la época publicado en 1 544).'' [Ruiz, A.
y
Barrantes, H.: Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y
ejercicios resueltos, p. 51]
Las ecuaciones de tercer y cuarto grados
 |
| Scipione dal Ferro |
Las cuadráticas fueron resueltas desde los babilonios, usando el método de completar cuadrados. Con relación a la de tercer grado, Pacioli pensó que no era resoluble, sin embargo alrededor del 1500 algunas de ellas fueron resueltas por Scipione dal Ferro (1 465 - 1 526) de Bologna:
Un siguiente paso lo dio el famoso matemático Tartaglia, cuyo nombre era Niccolò Fontana de Brescia (1499 - 1557). Su seudónimo se debía a que quedó tartamudo después de que un soldado francés le cortara la cara. Resolvió varios tipos de ecuaciones de la forma:
Cardano quien publicó en
su Ars Magna el método de solución de Tartaglia se lo atribuyó con
su discípulo Lodovico Ferrari (1 522 - 1 565) a dal Ferro,
provocando una disputa con Tartaglia.
Con la solución de la
ecuación cúbica, luego, se obtuvo la solución de la cuadrática,
por medio de
Ferrari.
Entonces, por el concurso
de Tartaglia, Cardano y Ferrari se encontraron métodos para la
resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grados. Pero, tiempo
después, Vieta, además de la
generalización que logró con el
simbolismo, exploró un método general para usar en cualquier tipo
de ecuación sin importar el grado.
Estos métodos
desarrollados, de algunas maneras, se enseñan en la teoría
elemental de las
ecuaciones. Asuntos como la relación entre el
grado y el número de raíces, o las calidades de éstas:
cuántas
positivas, negativas, complejas.
Cabe mencionar que
Descartes, tiempo después, en La Géométrie, sugeriría la regla de
los signos
para las raíces: el número máximo de raíces positivas
de
P(x)=0 , con
P(x) un polinomio, es el
número de alteraciones
en el signo de los coeficientes y el máximo de las negativas es el
número de
veces que dos signos
+ o - dos signos
ocurren
sucesivamente. Y, además, en ese mismo libro
estableció el teorema
del factor, es decir que:
f(x) es divisible por
x-a , con
a
positivo, si y solo
si
a es una raíz de
f(x)=0. Y por x+a si a es un raíz
``falsa''.
Descartes realmente
estableció el método moderno para encontrar raíces racionales de
polinomios.
Asuntos de la obra del genial francés que no son tan
conocidos.
Otro resultado
interesante de esta época es el uso del Triángulo de Pascal, que
aunque lleva el
nombre de este genial matemático fue usado
anteriormente por otros como Tartaglia, Stifel y
Stevin.
La expansión para
^n "(a+B)^n")
con
n entero, el llamado teorema del binomio, era conocida por los
árabes
del siglo XIII.
En la teoría de números de la época, el principal impulso lo llegó a realizar Pierre de Fermat (1601 - 1665), quien partiendo del trabajo de Diofanto estableció la dirección de los trabajos en esta disciplina matemática por lo menos hasta Gauss. Ya desarrollaremos esto con detalle.
El progreso en los
símbolos
Se suele reconocer que
fue el mejoramiento del simbolismo en el álgebra uno de los
resultados
relevantes del siglo XVI, aunque no se tuviera plena
conciencia de su importancia. Por ejemplo,
desde el siglo XV, se
usó
p por más y
m por menos, y en el mismo siglo por los
alemanes los
símbolos de
+ y -
. El símbolo
para indicar "veces'' se le debe a Oughtred. Leibniz,
años
después, objetó que podía ser confundido con la x. Robert
Recorde (1510 - 1558) introdujo el
signo =
. Para la igualdad Vieta
usó
~ y Descartes
∝
Fue Thomas Harriot quien
introdujo los signos
< y
>. Descartes usó
Vieta
Probablemente fue Vieta quien realizó el salto más relevante en el simbolismo para el álgebra. Bajo la influencia de Cardano, Tartaglia, Bombelli, Stevin y especialmente Diofanto, introdujo letras para designar números de manera sistemática y consistente. Usó consonantes para las cantidades
conocidas y vocales para las desconocidas. Su conciencia del papel del simbolismo y de la naturaleza general del álgebra lo llevó a hacer la famosa distinción entre logistica numerosa y logistica speciosa para separar aritmética y álgebra. Mientras que la numerosa refería a números, la speciosa a un método de operar sobre formas de cosas o especies, de ahí el nombre precisamente.
Es decir, álgebra refiere a tipos generales. Una de las cosas que trató de hacer fue establecer las
identidades algebraicas que había en los textos geométricos griegos de la Antigüedad.
Aunque muchos buscaron
mejorar el trabajo de Vieta como Harriot, Girard y Oughtred,
debe
mencionarse que fue Descartes quien usó las primeras letras del
alfabeto para cantidades conocidas
y las últimas para las
desconocidas, exactamente como se trabaja ahora (aunque Vieta y
Descartes
usaron los coeficientes literales solo para números
positivos).
Leibniz, debe decirse,
fue de los matemáticos más preocupados con el simbolismo.
Logaritmos: un resultado
relevante
Puede decirse que el
resultado más relevante de la aritmética de los siglos XVI y XVII
fueron los
logaritmos. Aparentemente, fue Stifel el primero en notar
la correspondencia entre los términos de
la sucesión geométrica
y aquellos de la
progresión aritmética formada por sus exponentes: 0, 1, 2, 3, 4,....
Al multiplicarse dos
términos de la geométrica, el exponente del nuevo término así
formado es la
suma de los términos correspondientes en la
aritmética. La división en la geométrica da la resta en
la
aritmética.
También Chuquet había
notado esto (1484).
Pero fue John Napier
(1550 - 1617) quien desarrolló los logaritmos, casi al terminar el
siglo XVI,
analizando la correspondencia entre las dos progresiones.
Su motivación era, como era común en
toda esta época, facilitar
cálculos en trigonometría esférica que se usaba en asuntos de
astronomía
(de hecho, considera logaritmos de senos). Napier envió
en consulta sus resultados al gran
astrónomo Tycho Brahe. Dos obras
condensan esos resultados: Mirifici Logarithmorum Canonis
Descriptio
y Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, de 1614 y 1619
respectivamente.
Otro matemático que
trabajó con logaritmos fue Henry Briggs (1561 - 1631), quien sugirió
el 10
como base, simplificando las cosas, y creó tablas de
logaritmos para números cercanos que todavía
tienen alguna
utilidad.
Un tratamiento similar al
de Napier fue realizado por el suizo Joost Bürgi (1552 - 1632)
quien, para que se aprecie la
conexión astronómica, fue asistente de Kepler en Praga.
Tiempo después se
construyeron otras tablas de logaritmos por vía algebraica, incluso
usando
<series infinitas: James Gregory, Lord Brouncker, Nicholas
Mercator, John Wallis y Edmond Halley ("padre'' del famoso
cometa Halley).
Una nueva relación
 |
| Marino Ghetaldi |
En este punto es
relevante valorar la relación entre álgebra y geometría. Como
herencia de los
griegos, a pesar de los desarrollos en álgebra,
siempre había una dependencia de la geometría. El
punto de fondo
refería a la justificación del álgebra, mejor dicho del
pensamiento algebraico. Los
matemáticos trataron primeramente de
encontrar pruebas geométricas para asegurar el álgebra
(como
Cardano, Tartaglia, Pacioli o Ferrari).
Una dosis mayor de
independencia se logró con los trabajos de Vieta y los de Descartes.
En un
principio el álgebra buscó servir como un método para
sistematizar situaciones de la geometría, en
las construcciones. Es
ésta la motivación principal que se encuentra en el trabajo de
Vieta In Artem
Analyticam Isagoge. Se identificaba una contraposición
entre álgebra y geometría equivalente a la
que existe entre
análisis y síntesis.
Vieta afirmaba el álgebra
como un "arte analítico''. El método analítico vislumbrado
era asumir lo
que se desea probar y por deducción llegar a verdades
conocidas. Vieta buscó tratar los asuntos de
proporciones de las
magnitudes por medio del álgebra.
Esta relación mutua
entre álgebra y geometría para estudiar las soluciones de
problemas
geométricos o, inversamente, para construir raíces de
problemas geométricos, también se puede
apreciar en obras del
discípulo de Vieta, Marino Ghetaldi (1566 - 1627): Apollonius
Redivivus y
De resolutione et compositione matematica.
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