Las Matemáticas en Francia | Siglos XVIII y XIX | En torno a la Revolución | Galois

Otro de los matemáticos franceses que forman parte de esta colección de eminentes científicos en ese escenario fue Évariste Galois, aunque se trata de un caso excepcional y diferente. Galois fue rechazado en las dos ocasiones que intentó entrar a la École Polytechnique y aunque logró entrar a la École Normale (que se llamaba entonces École Préparatoire), con un nivel mucho más bajo, también rápidamente fue expulsado de ésta (por criticar al director por no apoyar éste la revolución de 1830).

Su vida fue cortada abrupta y prematuramente en un duelo.

Con ideas hasta cierto punto anticipadas por Lagrange y por el italiano Ruffini, Galois creó la teoría de grupos, fundamento del álgebra moderna y de la geometría moderna. Ya desarrollaremos estos detalles.

Él consideró las propiedades fundamentales del grupo de transformaciones que pertenecía a las raíces de una ecuación algebraica y estudió el papel de algunos subgrupos invariantes.

Sus publicaciones tuvieron una vida también difícil: aunque en la École había publicado 4 artículos, en 1829 sometió dos a la Academia de Ciencias pero éstos fueron perdidos por Cauchy; otro el año siguiente enviado a Fourier corrió suerte similar porque este último matemático se murió. Presentado nuevamente como "Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux'', fue leído por Poisson, quien pidió que hiciera aclaraciones y lo completara. Poisson no entendió el artículo de Galois. 

Un documento con sus investigaciones, enviado a un amigo (August Chevalier) la víspera de su muerte y dirigido a Gauss y Jacobi (quienes nunca lo recibieron), fue el único que se preservó, pero no sería conocido sino hasta muchos años después, hasta 1846, año en que los trabajos de Galois se publicaron en el Journal de Mathématiques por el concurso del matemático Liouville.

Su importancia no sería reconocida, no obstante, hasta que Jordan, Klein y Lie incorporaron su aproximación en sus propios trabajos. De hecho el trabajo de Camille Jordan Traité des substitutions et des équations algébriques fue la primera presentación completa de la teoría y métodos de Galois. Se considera el principio unificador que desarrolló como uno de los resultados más importantes de las matemáticas decimonónicas. Bell subraya:

"Desde 1870 a la segunda década del siglo XX, los grupos dominaron un amplio sector del pensamiento matemático y a veces se los calificó diciendo que eran la llave maestra desde hace tanto tiempo buscada para todas las matemáticas.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 250]

Es interesante mencionar el reconocimiento que recibieron algunos de estos matemáticos en la

época:

"Gauss y Cauchy murieron en un intervalo de dos años, el primero en 1855 y el segundo en 1857. Ambos habían recibido diversos y abundantes honores, tal como había sido el caso anteriormente con Lagrange, Carnot y Laplace. Lagrange y Carnot fueron nombrados condes, y a Laplace se le concedió el título de marqués. Cauchy fue nombrado "barón'' por Carlos X, como recompensa a su fidelidad. Gauss, en cambio, nunca alcanzó el rango de la nobleza en el sentido legal del término, pero la posteridad lo ha aclamado unánimemente con el título aun más glorioso de Princeps Mathematicorum o 'Príncipe de los Matemáticos''' [Boyer, C: Historia de la matemática, p. 654]

Las Matemáticas en Francia | Siglos XVIII y XIX | En torno a la Revolución | Cauchy,

Cauchy es considerado, después de Euler, el matemático más prolífico de todos los tiempos. Su mente y sus contribuciones en diferentes campos de las matemáticas puras y aplicadas: la teoría de funciones de variable compleja, la teoría matemática de la elasticidad, resultados en la teoría de la luz de la mecánica, etc. Por ejemplo, en 1831 ofreció el teorema que establece que toda función analítica en una variable compleja w=f(z), puede desarrollarse en serie de potencias en un punto z=z₀ ; la serie converge en todos los valores de z que pertenecen a un círculo abierto con centro z₀ y tal que su circunferencia pasa por el punto singular z₁ para f(z) más cercano a z₀. 

Las series se convirtieron en una dimensión decisiva de las funciones de variables tanto reales como complejas.

Una de sus contribuciones más importantes se dio en la potenciación del rigor en las matemáticas. Cauchy, al igual que Abel y Bolzano, buscó corregir las debilidades de un desarrollo matemático durante todo el siglo XVIII que puso su énfasis en la experimentación, la aplicación, la intuición, y no en los criterios lógicos y aquellos más bien asociados a la geometría clásica. Cauchy revisó cuidadosamente el concepto de función de una variable real. Y ofreció un fundamento al cálculo casi como el que encontramos hoy en los textos de matemáticas. Cauchy retomó el concepto de límite introducido por d'Alembert para definir la derivada de una función.

Cauchy uso la notación de Lagrange con un enfoque analítico y no algebraico. Brindó especial atención a la convergencia de las series. Es decir, buscó pruebas para demostrar la convergencia de la series. De hecho, varios criterios de convergencia de series llevan su nombre.

También dio una prueba de existencia para la solución de una ecuación diferencial y para un sistema de estas ecuaciones. 

Se dice que tal era su productividad, que la Academia francesa limitó el tamaño de los artículos que se le enviaban a la revista Comptes Rendus para poder publicar los resultados de Cauchy.
Cauchy murió en el año 1857. Gauss había muerto dos años antes. 

 

Las Matemáticas en Francia | Siglos XVIII y XIX | En torno a la Revolución | Joseph Fourier | Denis Poisson

También ligados a la École Polytechnique, deben mencionarse los nombres de Joseph Fourier, Siméon Denis Poisson y Augustin Cauchy.

Los trabajos de Poisson fueron variados y con una gran productividad: ecuaciones diferenciales, elasticidad, teoría del potencial, probabilidades. Su obra Traité de mécanique (1811) prosigue la tradición de Lagrange y Laplace en el estudio de la mecánica pero con la incorporación de resultados propios importantes.

Orientado hacia las aplicaciones de las matemáticas, Fourier ofreció una teoría matemática de la conducción del calor, con un método que se convirtió en la fuente de los métodos modernos en la física matemática y que utiliza la integración de ecuaciones diferenciales con condiciones de frontera (con el uso de series trigonométricas). Es, por supuesto, el creador de la serie de Fourier, que se puede aplicar a más funciones que, por ejemplo, la serie de Taylor, que forman parte de todos los cursos de cálculo y ecuaciones diferenciales para ingenieros.

La obra representativa de este matemático fue: Théorie analytique de la chaleur (1822), libro basado en ideas con las que había ganado un premio de la Académie des Sciences varios años antes. Aquí Fourier analizó la ecuación diferencial del calor en 3 dimensiones:

donde x,y, z es la temperatura de un objeto en el tiempo y en el punto (x,y,z) Usando el método de la separación de variables, para resolver la ecuación, obtuvo representaciones en series trigonométricas de las soluciones.

Veamos lo que es la clásica serie de Fourier.
Si f es una función integrable en un intervalo [-Π,Π], los coeficientes de Fourier en ese intervalo  son:

 La serie de fourier de f en  [-Π,Π] es :

Poisson, publicó más de 400 trabajos y era en vida considerado un gran profesor de matemáticas. Estudió la electricidad y el magnetismo, como parte de la física matemática, e hizo trabajos en la mecánica celeste y sobre la atracción entre esferoides. Lleva su nombre la famosa "distribución'', llamada también ley de los grandes números, que refiere a un caso límite de una distribución binomial de la forma (p+q)ⁿ (donde p+q = 1 y n es el número de experimentos). Si n tiende a ∞ y p tiende a 0, y permanece constante el producto np, el caso límite de la distribución binomial es la distribución de Poisson o, también se llama, la ley de los grandes números.

Lo ponemos de otra manera, en lenguaje moderno de probabilidades: si α es un real positivo y X es una variable aleatoria que puede tomar valores 0, 1, 2, 3,..., y si la probabilidad P(x=k) se da por 

cuando k = 0,1,2,... la función de distribución Fx se llama "distribución de Poisson'' de parámetro α.