Álgebra y aritmética en Alejandría
Es importante mencionar que en el mundo griego se
hacía una distinción entre el cálculo numérico,al que se le daba
el nombre de logistica, y la teoría de números, para la cual se
usaba el término arithmetica. Las matemáticas clásicas no se
dedicaron a la logistica puesto que en la ideología dominante ésta
estaba ligada a la práctica del comercio o la agrimensura, es decir
a actividades lejanas de aquellas que el espíritu debía cultivar.
Entre Thales y Euclides no hay recuento, evidentemente, de muchos
resultados obtenidos en el cálculo numérico o en la medición con
propósitos prácticos. No sería ésta la actitud que desarrollaron
los matemáticos del periodo alejandrino.
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| Pared de la Biblioteca de Alejandría |
Tal vez sea importante mencionar que la escritura de
números en el periodo clásico no fue la misma de los alejandrinos;
de hecho, se suele llamar este último el sistema jónico o
alejandrino, el cual utiliza las letras del alfabeto.
Como resultaba muy engorrosa la escritura de las
fracciones comunes en los sistemas griego o egipcio para los cálculos
astronómicos, los matemáticos y astrónomos alejandrinos
prefirieron el sistema babilónico con fracciones sexagesimales. De
hecho, esto tuvo consecuencias:
"El Almagesto consagró el uso de las fracciones sexagesimales, pero retardó la extensión natural de los números decimales a las fracciones decimales; o, en otras palabras, impidió que los submúltiplos decimales se usaran de la misma manera que los múltiplos decimales. Fue el flamenco Simón Stevinquien explicó por vez primera en 1585, y muy bien, la superioridad de las fracciones decimales, a cuyo uso exclusivo no se ha llegado aún en nuestros días.'' [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, pp. 82-83]
Los alejandrinos, como Arquímedes, Herón,
Diofanto, usaron las fracciones como números propiamente, mientras
que los matemáticos clásicos sólo reconocían una razón de
números enteros.
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| Herón de Alejandría |
El desarrollo de la aritmética y el álgebra como
disciplinas independientes de la geometría fue escalonado en Grecia.
Podría decirse que con los pitagóricos existe una identificación
entre aritmética y geometría, hasta cierto punto. La aritmética,
como teoría de los números enteros, era importante en tanto
fundamento último de la realidad. Al descubrirse los irracionales,
las perspectivas de la aritmética y la geometría chocan, se abre
una crisis, la cual se resolvió descartando la aritmética y dándole
un valor extraordinario a la geometría sintética, es decir la
geometría no cuantitativa. Esto fue establecido de manera definitiva
por los matemáticos griegos clásicos: sólo la geometría podía
tener fundamento lógico, verdadero, y la aritmética era un
territorio considerado "peligroso'', sujeto al error, con la
presencia de entidades que no podían ser representadas ni
comprendidas en su marco teórico.
En la etapa alejandrina, si bien hay una actitud
diferente hacia la naturaleza de las matemáticas, que involucra la
mecánica y el cálculo, el proceso no es uniforme tampoco:
Arquímedes, Apolonioy Ptolomeo utilizaron la aritmética solamente
para calcular cantidades geométricas (superficies, volúmenes,
longitudes de figuras geométricas); sin embargo, Herón, Nicomaco y
Diofanto sí concedieron un lugar independiente, separado de la
geometría, a la aritmética y el álgebra. Por ejemplo, Herón
formuló y resolvió problemas algebraicos por medio de
procedimientos exclusivamente aritméticos, retomando tradiciones que
refieren a los egipcios y babilonios.
De la misma manera, Nicomaco en una obra titulada
Introductio Arithmetica, aunque usó sólo números enteros y razones
de números enteros, su aritmética era tratada totalmente de manera
independiente a la geometría: los números ya no eran segmentos de
recta -como en Euclides- sino cantidades de objetos. Nicomaco trató
de reanimar la tradición pitagórica; de hecho, afirmó que la
aritmética era la madre de la geometría, la música, y la
astronomía. Los historiadores de las matemáticas consideran que
Nicomaco hizo por la aritmética lo mismo que Euclides hizo por la geometría, aunque debe decirse que sus contenidos
no eran originales (más bien realizó un compendio de temas tratados
esencialmente por los pitagóricos y otros autores).
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| Nicomaco de Gerasa |
Diofanto
En relación con el álgebra alejandrina, la figura clave es Diofanto. Según Bell:
"Diofantofue el primer matemático griego, si realmente fue griego, que mostró un talento genuino para el álgebra. Siguiendo a los pitagóricos, Euclides había dado equivalentes geométricos para las identidades sencillas de segundo grado, como , y había resuelto , positiva, geométricamente.Diofanto dio soluciones esencialmente algebraicas de las ecuaciones especiales de primer grado con dos y tres incógnitas, como , . Más importante aún, había empezado a usar los símbolos operando con ellos. Este largo paso hacia delante es tanto más notable cuanto que su anotación algebraica, comparada con la de hoy o la del siglo XVII, cuando Descartes la perfeccionó prácticamente, era casi tan engorrosa como la logística griega. El que hiciera lo que hizo con la técnica disponible lo sitúa sin ningún género de duda entre los grandes algebristas.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 78.]
Su obra principal fue una
Arithmetica (se supone que eran 13 libros, de los cuales
sobrevivieron 6 para la historia), donde se consigna su principal
contribución: el simbolismo. Diofanto usó un signopara una variable
desconocida, para expresar potencias, incluso superiores a 3. Esto
último es un hecho sorprendente. Debe recordarse que los matemáticos
clásicos no admitieron más de tres factores, porque no podían
tener significado geométrico. Para que se tenga una idea de esta
obra de Diofanto, vale la pena
señalar que el primer libro trataba problemas que conducen a
ecuaciones de primer grado con una o más incógnitas. Los otros
cinco libros, los que sobrevivieron, estudian ecuaciones de segundo
grado.
El asunto más relevante
del álgebra de Diofanto es precisamente la solución de ecuaciones indeterminadas. Debe
mencionarse, sin embargo, que en la solución de las ecuaciones él
sólo aceptó raíces racionales positivas. Esto es interesante,
mientras que para Herón no había problemas con el uso de
irracionales, debe recordarse su énfasis en el cálculo y la
medición, y mientras que el mismo Arquímedesse preocupaba por dar
aproximaciones a los números irracionales, Diofanto, con una
aproximación algebraica, rechaza irracionales, negativos y números
complejos. No obstante, reconoce a las fracciones como números, un
elemento diferente en relación con las matemáticas clásicas. Ahora
bien, en cada uno de los 189 problemas tratados en su Arithmetica, Diofanto usa un método
diferente: no hay intento de encontrar un método general de
solución. Sin duda, se encuentra en
Diofanto la influencia de los resultados babilonios; sin embargo, su
simbolismo y la solución de ecuaciones indeterminadas superan de
lejos aquellos resultados.
Es interesante señalar
que el álgebra griega no usó letras para representar números, como
los coeficientes en una ecuación.
Debe decirse que ni
siquiera en los mejores momentos de la creación del álgebra en la
civilización griega se buscó ofrecer
una estructura lógica, deductiva, que permitiera construir y
fundamentar la teoría de los números y
el álgebra. La fortaleza deductiva y teórica que encontramos en la geometría, en los
trabajos de Euclides, Apolonioy también Arquímedes, no está
presente ni en la aritmética ni en el álgebra griegas.
Probablemente, lo que es opinión de varios autores, esto fue el
resultado de dos factores: expresión, por un lado, de las
tradiciones babilonias y egipcias (énfasis en procedimientos
específicos), así como, por otro lado, sin duda, por el lugar que
ocupó la geometría sintética y no cuantitativa en la matemáticas
griegas. En todo caso, la realidad es que la fundamentación de la
teoría de los números y del álgebra sería un problema capital de
las matemáticas que no se resolvería sino hasta hace relativamente
muy poco tiempo.
Pappus
Otro de los matemáticos
de esta época que debe mencionarse es Pappus, quien un siglo después
de Ptolomeo haría una recopilación de las matemáticas antiguas que
es considerada por los historiadores de la ciencia como muy
relevante: Colección Matemática (Synagoge). Sarton reseña este
trabajo así:
"El conjunto de la Colección es un tesoro y, hasta cierto punto, la culminación de las matemáticas griegas. Poco se añadió a ella en la época bizantina, y el mundo occidental, habiendo perdido el conocimiento del griego, y el interés por las matemáticas superiores, no pudo aprovechar la riqueza que Pappushabía acumulado. Las ideas recogidas o inventadas por él no sirvieron de estímulo a losmatemáticos occidentales hasta mucho más tarde, pero cuando al fin lo hicieron, dieron origen a las matemáticas modernas: geometría analítica, geometría proyectiva, método centrobárico. Este nacimiento o renacimiento, surgido de las cenizas de Pappus, se llevó a cabo en un lapso de cuatro años (1637-40). De este modo, la geometría moderna quedó inmediatamente conectada con la antigua, como si nada hubiera acontecido entre tanto.'' [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, pp. 98-99]
Y su opinión es radical:
"Pappusfue el más importante de los matemáticos del último
periodo de la ciencia antigua y nadie lo emuló en la época
bizantina. Fue el postrer gigante matemático de la Antigüedad.''
[Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, p. 99]
Sobre su vida: Pappus
nació alrededor del año 290 en Alejandría, Egipto. Fue el último
gran geómetra griego que al parecer vivió siempre en Alejandría.
Dedicó muchos de sus trabajos a Pandrosion, Megethion y Hermodorus,
éste último al parecer fue su hijo.
En los escritos de
Proclus se menciona a Pappuscomo el que encabezaba la Escuela de
Alejandría. Su trabajo más importante fue un estudio de geometría
que se publicó en una colección de ocho libros alrededor del año
340. Todo este conjunto de libros no mostró originalidad, pero en
cambio, significó una honda comprensión y dominación de casi todos
los temas y técnicas matemáticas; además es un trabajo de gran
importancia para el estudio de la geometría griega. Aparte de este
libro, son muchos los comentarios que hizo acerca de otros autores,
uno de ellos es de Euclides y sus Elementos. Entre sus trabajos
reconocidos existe uno de música y otro de hidrostáticos. Murió
alrededor del año 350.
