Las matemáticas del siglo XVIII: Euler

 fue el matemático más prolífico de todos los tiempos. Sus cerca de novecientos trabajos científicos y más de 3000 cartas profesionales condensan casi todos los asuntos matemáticos del siglo XVIII

Los Bernoulli tuvieron una contribución adicional. Euler, quien había nacido en Basilea, Suiza, en 1707, comenzó sus estudios superiores en la Universidad de Basilea en 1720. Allí se relacionó con Jean (o Johann) Bernoulli. El padre de Euler había estudiado matemáticas, precisamente, con Jacob Bernoulli. En 1725, Euler fue a San Petersburgo recomendado por Nicolaus el hijo de Johann para trabajar en la Academia. En 1741, dejó San Petersburgo, donde había inestabilidad política, y fue hacia la Academia de Berlín (Alemania), de reciente formación por el concurso de Federico el Grande; estuvo entre 1741 y 1766. Luego, volvió a San Petersburgo y permaneció entre 1766 - 1783. Euler terminó su vida ciego, en 1735 perdió un ojo, y el otro en 1766 (a pesar de esto, en este periodo completó la mitad de sus obras). 

Antigua Universidad de Basilea

Leonhard Euler, junto con Cauchy, fue el matemático más prolífico de todos los tiempos. Sus cerca de novecientos trabajos científicos y más de 3000 cartas profesionales condensan casi todos los asuntos matemáticos del siglo XVIII, en matemáticas aplicadas y puras. Su obra incluye no solo artículos o libros científicos sino también textos y síntesis integradoras de temas, que evidencian una gran disposición a la enseñanza y una vocación social importante. Euler publicaba libros de alta calidad a una velocidad de unas 800 páginas por año. Sin duda, fue el matemático más relevante del siglo XVIII.  

La obra de este insigne matemático ofrece la posibilidad de apreciar la extraordinaria cantidad y diversidad de las aplicaciones de las matemáticas y en particular del cálculo. Escribió sobre las ecuaciones diferenciales, geometría analítica y diferencial de curvas y superficies, series y cálculo de variaciones. También en las aplicaciones, Euler calculó la perturbación de los cuerpos

celestes en la órbita de un planeta y la trayectoria de proyectiles lanzados en medios con resistencia determinada. También estudió la propagación del sonido y la consonancia y disonancia musicales. Algo que a veces no se conoce, Euler fue el único de los científicos del siglo XVIII que afirmó el carácter ondulatorio de la luz y no corpuscular, analizó el calor precisamente como una oscilación molecular. Euler describió con ecuaciones diferenciales el movimiento de un fluido (ideal) y aplicó su modelo incluso a la circulación sanguínea.

Escribió libros de texto, por lo que en muchos asuntos estableció la forma y la notación que han subsistido  hasta nuestros días, como es el caso de nuestra trigonometría que se basa en valores y razones trigonométricas y el tipo de notación que todavía usamos. Euler estableció con sus textos un modelo por seguir por centenares de años en la mecánica, álgebra, análisis matemático, geometría diferencial y cálculo de variaciones.
Sobre el cálculo de variaciones, con base en los trabajos de los Bernoulli en el estudio de  problemas isoperimétricos, Euler buscó una teoría general, que publicó en 1744: " Methodus  inveniendi lineas curvas maximi minimive

propietate gaudentes sive solutio problematis  isoperimetrici latissimo sensu accepti'' (``Un método para descubrir líneas curvas que tienen la  propiedad de un máximo o mínimo o la solución del problema isoperimétrico tomado en su sentido  más amplio''). Este sería perfeccionado y presentado de la manera que hoy se conoce por Lagrange.

Con los trabajos de Euler, los resultados y métodos de Newton y Leibniz se integraron en el análisis, conceptualizado este último como aquel campo matemático que trata del estudio de los procesos infinitos

Para algunos historiadores de las matemáticas, Euler hizo por el cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz lo que había hecho Euclides por la geometría de Eudoxo y Teeteto, o Vieta por el álgebra de al-Khwarizmi y de Cardano. Con los trabajos de Euler, los resultados y métodos de Newton y Leibniz se integraron en el análisis, conceptualizado este último como aquel campo matemático que trata del estudio de los procesos infinitos.

Una de las obras magistrales en la que realiza este gran trabajo de síntesis y ampliación del cálculo infinitesimal fue Introductio in analysin infinitorum, publicada en 1 748. En este Introductio, dos volúmenes, cubre una gran cantidad de temas. Desde las series infinitas para funciones como e^x, cos h, y sen x, el tratamiento de curvas con ecuaciones (geometría analítica), la teoría de la eliminación, la función Zeta en su relación con la teoría de números primos. En este libro se introduce la famosa relación:

El cálculo diferencial e integral, la teoría de las ecuaciones diferenciales (con la distinción entre lineales, homogéneas, exactas), el Teorema de Taylor con aplicaciones, las integrales eulerianas Γ y B, se encuentran en otros textos clásicos: Institutiones calculi differentialis (1755) e Institutiones calculi integralis (1768 - 1774, 3 volúmenes). 

La dinámica de Newton para los puntos masa desarrollados por métodos analíticos se encuentra en el texto: Mechanica, sive motus scientia analytice exposita (1736). Sobre los cuerpos sólidos: Teoría motus corporum solidorum seu rigidorum de 1765. El álgebra, en 1770: Vollständige Anleitung zur Algebra. En este último se desarrolló la teoría de ecuaciones cúbica y bicuadrática y las ecuaciones indeterminadas. 

Sus trabajos en astronomía (Teoria motus planetarum et cometarun 1774), Optica (Dioptrica, 1769 - 1771), teoría de números, hidráulica, artillería, y otros campos reflejan la inteligencia y  dedicación de este gran científico suizo.
Muchas de las distinciones, presentaciones, notaciones, etc. desarrolladas por Euler han quedado  tal  cual hasta nuestros días, como, por ejemplo, en la trigonometría.
El concepto central con el que Euler va a construir el nuevo análisis es precisamente el de función. 

Esta idea, que ya había estado presente de manera intuitiva en otros matemáticos previos, va a adquirir la relevancia teórica de las matemáticas modernas. Para Euler una función es "cualquier expresión analítica formada con la cantidad variable y con números o cantidades constantes''. 

La definición hacía referencia a funciones algebraicas, construidas por medio de las 4 operaciones
fundamentales y la extracción de raíces, y las funciones trascendentes elementales ( log x,e^x , sen x, etc.)

L'Hôpital

El concepto de función y las funciones algebraicas y trascendentes elementales ya habían sido  introducidas en el siglo XVII. En la consideración de varios problemas clásicos, Leibniz, Jacques (Jakob), Jean (Johann) Bernoulli, L'Hôpital, Huygens y Pierre Varignon usaron funciones conocidas y construyeron muchas otras de mayor complejidad.
Euler  definió  las  funciones:

Euler hizo un tratamiento completo y sistemático de las funciones trigonométricas que habían recibido ya un tratamiento en forma de serie. Eso lo realizó en un artículo del año 1748 sobre las  desigualdades en los movimientos de Júpiter y Saturno.
Euler estableció una diferenciación entre las funciones de acuerdo con la forma en que se combinan
las variables y constantes que ellas poseen. Las funciones trascendentes realizan un número infinito de las combinaciones que realizan las algebraicas. Esto establecía que las funciones trascendentes se podían expresar por medio de series infinitas. Fue precisamente esta noción de función reducida a una expresión analítica finita o infinita la que, con el tiempo, se fue generalizando hacia la idea de la función, simplemente como una combinación de operaciones, independientemente de las  operaciones involucradas. Es el sentido que ya se encuentra en los años 1797 y 1806 en el trabajo del matemático francés Lagrange.

Lagrange

Con base en este tipo de trabajos, rápidamente fueron construidas integrales elípticas indefinidas, la función gama y otras más.
Fue también en el siglo XVIII que se desarrolló el cálculo en funciones de dos y tres variables. Aunque Newton, Jean y Nicolaus Bernoulli habían realizado la diferenciación en funciones de 2 variables, la teoría fue plenamente desarrollada por varios matemáticos: Alexis Fontaine de Bertins (1705 - 71), Euler, Clairaut y d'Alembert. Al principio se usó el mismo signo para expresar la derivada. La idea era simple: efectuar la derivada sobre una variable dejando como constantes las otras. La derivación "parcial'' (para una variable) tuvo mucha relevancia en las ecuaciones diferenciales. En relación con asuntos de hidrodinámica, en los que aparecían las ecuaciones diferenciales, Euler hizo un amplio tratamiento de la derivación parcial. En 1734, por ejemplo,  Euler mostraba que si  z =f(x,y) entonces

Entre 1744 y 1745, d'Alembert extendió el cálculo de las derivadas parciales (trabajando en  dinámica).
Euler hizo un gran trabajo en el progreso de las matemáticas aplicadas, las que se puede decir  efectivamente que nacieron realmente con el mismo Newton:

"Las modernas matemáticas aplicadas se originaron en la teoría de la gravitación universal que  Newton desarrolló en sus Principia. Antes de Newton la astronomía era puramente descriptiva. Se describían cada vez con mayor precisión los movimientos de los planetas, y se les acoplaba desde los babilónicos a Tolomeo en marcos geométricos de complejidad cada vez mayor, Copérnico simplificó su geometría. Pero no había ninguna hipótesis física que se resumiera y consolidara en postulados de los que poder deducir aquella geometría. Se necesitaban observaciones precisas para establecer bien los hechos antes de poder enunciar con provecho dichos postulados. Esas observaciones las suministró abundantemente Tycho Brahe (danés, 1546 - 1601) cuyo laborioso ayudante durante algún tiempo, Juan Kepler (alemán, 1571 - 1630), resumió las observaciones de  las tres leyes que llevan su nombre.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 170.]

A pesar de todo y como siempre sucede en la construcción científica o intelectual, algunos de sus resultados o suposiciones han resultado ser imprecisos o equivocados. Por ejemplo, algunas de sus  series infinitas no son convergentes, a pesar de que Euler así las consideró. Fue característico de  todo el siglo XVIII un manejo muy liberal de los procesos infinitos, y por lo tanto sin mucha  precisión en los criterios de convergencia. De igual manera, el manejo de los infinitesimales: había -según Euler- órdenes infinitos de pequeñas cantidades que son todas 0 pero que se deben  distinguir.

El asunto en juego aquí era el del paso al límite y la fundamentación del cálculo. Fue d'Alembert  quien introdujo el término "límite'' para expresar el acercamiento de una cantidad a otra dada y  consideraba que diferenciar refería a un límite de la razón de diferencias finitas de 2 variables  dentro de una ecuación dada. No tuvo mucho éxito entre sus contemporáneos; las críticas de  Berkeley contra Newton o de Nieuwentijdt contra Leibniz pesaron mucho en la época. 

Las Matemáticas del siglo XVIII: Los Bernoulli

Los Bernoulli refieren a una de esas raras situaciones en la historia de las matemáticas: una misma familia a la cual pertenecieron muchas personas que contribuyeron a estas disciplinas con relevancia. Basilea, Suiza, es el lugar. Todo inicia con Nicolaus, padre de Jacob y de Johann. Jacob estudió teología y Johann medicina. Pero rápidamente se convirtieron en discípulos de Leibniz.

Jacob ocupó la cátedra de matemáticas de la Universidad de Basilea de 1687 a 1705, cuando muere.

Johann lo sucedió en ese puesto por más de 40 años. Antes había sido profesor en Groningen.

Jacob hizo importantes contribuciones a las coordenadas polares, el estudio de la catenaria, la lemniscata, y la espiral logarítmica, y trabajó con curvas que lo llevaron a asuntos en el cálculo de variaciones. Pero, además, trabajó las probabilidades: su Ars conjectandi (publicado en 1713) establece el "teorema de Bernoulli'' sobre las distribuciones binomiales y aquí aparecen los llamados "números de Bernoulli''. 

 

Johann trabajó muy asociado a su hermano y muchas de sus contribuciones son conjuntas. A partir del estudio de la curva braquistócrona se le considera el creador del cálculo de variaciones. Esta curva fue estudiada por Leibniz y los hermanos Bernoulli. Se construye a partir de dos puntos en un campo gravitacional: el movimiento de más rápido descenso de un punto masa que se mueve entre los dos puntos dados. A la solución se le llama la cicloide. 

curva braquistócrona

 

Johann tuvo dos hijos: Nicolaus y Daniel, el primero murió joven (aunque llegó a plantear lo que se llama la "paradoja de San Petersburgo''), y el segundo contribuyó a la astronomía, la física y la hidrodinámica (en su libro Hydrodynamica, 1738, estableció la teoría cinética de gases). Fue profesor también en la Universidad de Basilea hasta 1777. 

Hydrodynamica, 1738

 

En 1696, en la revista Acta Eruditorum, Johann Bernoulli presentó un reto para resolver un problema: "Sean dos puntos A y B en un plano vertical. Se trata de encontrar la curva que debe seguir un punto M que se mueve sobre AMB tal que comienza en y alcanza en el tiempo más corto bajo su propia gravedad'' [Struik: A source book ..., p. 392]. En 1697 dio una solución en un artículo que se titulaba: "Curvatura radii in diaphanis non uniformibus'', en la misma Acta Eruditorum. El llamó a la curva solución la brachystocrona. Se trata de una cicloide. En el mismo número de esa revista se publicó una solución dada por su hermano Jakob: " Solutio problematum fraternorum ... una cum propositione reciproca aliorum''. Otras soluciones fueron ofrecidas incluso en esa revista por Leibniz, L'Hôpital, Tschirnhaus y Newton. En estos artículos se inicia el cálculo de variaciones. 

Las Matemáticas del siglo XVIII: Inicio

Herencia de revoluciones en la cosmología y la astronomía: debe subrayarse que fueron lo resultados en mecánica celeste y en física los que abrieron extraordinarias posibilidades para la construcción científica y matemática del siglo XVIII. Como bien describen Rioja y Ordóñez:

"En conjunto, puede afirmarse que, a partir del siglo XVIII, se obtienen espectaculares resultados  en el conocimiento de la estructura del universo gracias al desarrollo de una doble vía de  investigación, cuyas raíces hemos encontrado ya en el XVII. Nos referimos a la conjunción de una vertiente teórica, con un marcado carácter matemático, y otra práctica, ligada a la observación y la experimentación, de las que el volumen tercero dará cumplida cuenta. Con respecto a la primera de  estas vías, baste indicar el importantísimo proceso de transformación de la mecánica celeste en cuanto ciencia de carácter geométrico (que aún era en Newton) a su expresión en términos analíticos. Desde los tiempos de la Academia de Platón la astronomía había quedado estrechamente  ligada a la geometría. En consecuencia, de Eudoxo a Kepler, pasando, desde luego, por Ptolomeo y Copérnico, ésa fue la ciencia matemática utilizada sin excepción para calcular y predecir los movimientos planetarios. En el siglo XVII tuvo lugar la invención del cálculo infinitesimal por Leibniz o el método de fluxiones por Newton; y, sin embargo, en la redacción de los Principia este último no se sirvió del procedimiento matemático por él creado años antes. Muy al contrario, ateniéndose al modo tradicional de hacer astronomía, escribió su obra en forma enteramente geométrica.'' [Rioja, Ana, Ordóñez, Javier: Teorías del Universo, Volumen II de Galileo a Newton,  p. 272] 

Y lo que resulta esclarecedor del carácter de los trabajos matemáticos de este siglo:

"... con posterioridad a la publicación de los Principia, comenzó la tarea de convertir la mecánica geométrica en mecánica analítica. Al servirse de ecuaciones más que de figuras, fue posible abordar problemas de cálculo mucho más complejos, tales como el de las perturbaciones planetarias, directamente relacionado con el problema de tres cuerpos (cálculo de la trayectoria de tres cuerpos, en interacción recíproca, como, por ejemplo, el Sol, la Luna y la Tierra).'' [ Rioja, Ana, Ordóñez, Javier: Teorías del Universo, Volumen II de Galileo a Newton, p. 272]

Durante el siglo XVII se había dado en el desarrollo de las matemáticas un énfasis en las aplicaciones. Sin embargo, éste se potenció aun más durante el siglo XVIII. Por supuesto, esto era concurrente con la demanda creciente hacia las ciencias en la vida social, en particular en la vida económica. Es decir, la dimensiones económicas, técnicas o la misma vida social y general juegan un papel en la naturaleza y las fronteras de la práctica matemática. Estos factores son importantes cuando se quiere estudiar la historia de las ciencias. Por supuesto, no debe caerse en determinismos mecánicos y estériles. Esto es así porque la creación intelectual suele establecer distancias con los contextos materiales y sociales inmediatos para abrir lugar al libre curso de la imaginación y el razonamiento lógico.

Esto sucede con las matemáticas porque, a pesar de su naturaleza abstracta, no puede evitar el influjo de las realidades sociales y materiales.

Resulta muy interesante señalar el gran logro de los matemáticos europeos que en poco menos de dos siglos habían logrado empujar significativamente las fronteras de la producción matemática de toda la Antigüedad. Sin duda, en su explicación convergen las diferencias entre las sociedades y en el trabajo intelectual que existieron en este escenario social. Debe subrayarse la existencia de un ritmo muy elevado en la producción científica matemática que ha sido característica decisiva para el progreso de la cultura y la sociedad occidentales. No sólo se potenciaron cuantitativamente los trabajos sino también cualitativamente, y tanto en lo que se refiere a la profundidad de los métodos como a la creación de nuevos conceptos y de diferentes disciplinas matemáticas. 

Hay varios cambios en relación con las matemáticas antiguas que introdujeron los matemáticos occidentales del siglo XVII.

En primer lugar, deben subrayarse los diferentes papeles asignados al álgebra y la geometría. Se pasó de un dominio en métodos y criterios de rigor, de la validez, con base en la geometría, a una mayor relevancia del álgebra. Los resultados de las matemáticas dejaron de concebirse como simples idealizaciones de la experiencia y se empujó hacia una construcción más abstracta de conceptos y métodos. Al mismo tiempo, sin embargo, la creación del cálculo, que incluía métodos alejados de aquellos estándares de rigor y deducción propios de la geometría clásica, promovió la utilización de procesos inductivos en las matemáticas.

De igual manera, se dio una estrecha vinculación entre las matemáticas y las ciencias naturales, lo que empujó hacia una mayor interdependencia y fusión teóricas que aumentaba la convergencia entre las ciencias y las matemáticas y evadiendo en parte sus distinciones.

Por otro lado, las matemáticas del siglo XVIII, a diferencia de las del siglo XVII, fueron esencialmente cuantitativas, debido precisamente a esa relación estrecha con las ciencias naturales. Esto configuraba lo que se puede describir como una situación contradictoria. Mientras que se tenía una gran producción matemática y un gran éxito en la capacidad para predecir en las ciencias, existía a la vez un conjunto considerable de debilidades en sus fundamentos lógicos. A pesar de la falta de claridad y precisión lógicas en el cálculo diferencial e integral y el uso poco cuidadoso de los números, esta disciplina encontró un extraordinario progreso.

Los números irracionales eran admitidos a principios del XIX, aunque no los negativos ni los complejos.

En este escenario, varias figuras fueron relevantes: empezando con el mismo Leibniz, luego los hermanos Bernoulli [Jacques (1654 - 1705) y Jean (1667 - 1748) ], Euler (1707 - 1783), Lagrange (1736 - 1813) y Laplace (1749 - 1827). Aunque debe incluirse a los matemáticos franceses Clairaut (1713 - 1765), d'Alembert (1717 - 1783) y Maupertuis (1698 - 1759), los hermanos suizos Nicolaus (1695 - 1726) y Daniel Bernoulli (1700 - 1782) [hijos de Jean].