Cálculo Infinitesimal | Primeros Pasos

Bonaventura Cavalieri

Si bien algunos de sus fundamentos, especialmente en torno a la integral, se encuentran en la Antigüedad Clásica griega, como por ejemplo en los trabajos de Arquímedes, en la nueva época un primer punto importante por señalar fue establecido por Bonaventura Cavalieri, en su Geometria indivisibilibus continuorum del año 1635. Usando el concepto de "indivisible''; este profesor de la Universidad de Bolonia generaba la rectas a partir de puntos y los planos a partir de la rectas por medio del movimiento. Es decir, avanzó elementos en lo que luego sería el cálculo integral. Es en este territorio intelectual que nació precisamente el famoso "principio de Cavalieri''.

Pero en esa época no sólo se trabajaba en el cálculo de longitudes de segmentos, áreas, volúmenes.
También en el problema de encontrar la recta tangente a una curva a un punto dado.

En general, cuatro fueron los problemas que se buscó resolver: determinar la velocidad y la aceleración instantáneas de un cuerpo, dada la distancia en función del tiempo, y viceversa (si se tenía la velocidad o la aceleración, se trataba de encontrar la distancia o la velocidad respectivamente en un momento determinado); determinar la tangente a una curva en un punto (por ejemplo para dar una dirección de un cuerpo en movimiento o el cálculo de rectas tangentes y normales a curvas para la descripción del comportamiento de la luz, el diseño de lentes); encontrar el máximo o el mínimo de una función (por ejemplo, para calcular las distancias máxima y mínima de un planeta en su movimiento traslacional, o la inclinación de un cañón para que una bala golpee a la máxima distancia posible); encontrar las longitudes de curvas, áreas y volúmenes determinadas por curvas o superficies, y centros de gravedad de cuerpos (utilidad en el cálculo de la distancia recorrida o el área "barrida'' por el planeta en un tiempo).

En los orígenes del cálculo es posible determinar dos tendencias definidas, una algebraica y otra  geométrica. Mientras que Fermat, Descartes o John Wallis se inclinaban por una aproximación algebraica, Torricelli, Isaac Cavalieri y Barrow lo hacían por una geométrica. Esto último también sucedía con Huygens.
Debe señalarse que en la mayoría de los casos el tipo de curvas que estudiaban en la mitad del siglo XVII eran algebraicas y sólo muy ocasionalmente trascendentes.
Se deben mencionar varios avances precursores en el cálculo. Por ejemplo, ya en el mismo año de 1638, Fermat había descubierto un método para encontrar máximos y mínimos en una ecuación  algebraica simple, el cual fue generalizado posteriormente por el holandés Johannes Hudde. 

Wallis y Barrow

Introducción

John Wallis

Después de Descartes, John Wallis, amigo de Newton, e influenciado precisamente por Vieta, Fermat y Descartes, dio varios pasos en l
a "algebrización de la geometría''. Por ejemplo, en su libro Algebra (1685) dedujo en forma algebraica todo el Libro V de los Elementos de Euclides. Esta dirección tendría influencia, por ejemplo, en los trabajos de Leibniz.

Para Isaac Barrow, sin embargo, las matemáticas eran esencialmente geométricas y el álgebra y la aritmética no eran más que una formalización de la lógica.

Isaac Barrow

Resulta interesante mencionar que a pesar de la visión revolucionaria de Descartes, todavía no había suficiente conciencia de los cambios a los que él mismo estaba contribuyendo de una manera decisiva. Por ejemplo, lo que ya mencionamos, Descartes consideraba que la geometría era la rama más importante de las matemáticas. Todavía tendría que pasar mucha más historia para transformar estas apreciaciones sobre el lugar de la geometría y el álgebra en las matemáticas. 

El elemento central para una potenciación adicional del álgebra puede decirse que fue el mismo cálculo diferencial e integral, pues éste obligaba a una utilización sistemática del álgebra para su propio desarrollo. En ese sentido, la gran condensación teórica realizada por Newton y Leibniz potenció extraordinariamente el valor y significado del álgebra. Aunque, sin embargo, sus desarrollos decisivos y radicales se darían hasta el siglo XIX. Históricamente, la geometría analítica en sí misma (no en cuanto utilizada en otras disciplinas), como la presentaron Descartes y Fermat, tuvo poca repercusión inmediata. Y ésta tendría que esperar el trabajo de Gaspard Monge (1746 - 1818) y sus discípulos en la Escuela Politécnica francesa (la Polytechnique ) para adquirir los alcances y fortalezas que ésta posee.

John Wallis

Matemático inglés a quien se atribuye en parte el desarrollo del cálculo moderno. Fue un precursor del cálculo infinitesimal (introdujo la utilización del símbolo ∞ para representar la noción de infinito). 

Su mérito más trascendental reside en haber establecido claramente la noción de límite en la forma rigurosa hoy vigente. Gran parte de la obra de Wallis en cálculo precedió a Newton y Leibniz, sobre quienes ejerció una notable influencia.  

Isaac Barrow

 

Isaac Newton asistió a sus conferencias y en 1669 se resignó a que su propio alumno se ocupara de la enseñanza lucasiana. Las conferencias de Barrow se publicaron en 1683 después de su muerte. Sus "Lecciones Ópticas" y "Lecciones geométricas" fueron publicadas en 1669 y 1670 respectivamente con la ayuda de Isaac Newton en su preparación. Se afirma que la influencia de Barrow fue decisiva en la formulación que Isaac Newton, hiciera del cálculo; en 1669 trabajaron juntos durante un breve periodo.

Desarrolló un método para determinar tangentes con un enfoque que se aproximaba a los métodos del cálculo. Fue el primero en descubrir que los procesos de derivación e integración podían considerarse como operaciones inversas entre sí. 

Arthur Cayley y el Álgebra de Matrices

Arthur Cayley (1821-1895), un matemático inglés, desarrolló en 1857 el álgebra de matrices, es decir, las reglas que ilustran la forma en la cual se suman y multiplican las matrices. Nació en Richmond, en Surrey (cerca de Londres) y fue educado en el Trinity College, Cambridge, donde se graduó en 1842. Ese mismo año obtuvo el primer lugar en la difícil prueba para obtener el premio Smith. Durante varios años estudió y ejerció la carrera de leyes, pero nunca dejó que su práctica en la abogacía interfiriera con su trabajo en las matemáticas. Siendo estudiante de leyes viajó a Dublín y asistió a las conferencias de Hamilton sobre cuaterniones. Cuando se estableció la cátedra Sadlerian en Cambridge en 1863, le ofrecieron el puesto a Cayley, quien lo aceptó, renunciando a un lucrativo futuro como abogado a cambio de la modesta remuneración de la vida académica. Pero fue entonces que pudo dedicar todo su tiempo a las matemáticas.

Cayley está clasificado como el tercer matemático más prolí-fico en la historia; lo sobrepasan sólo Euler y Cauchy. Comenzó a publicar siendo todavía estudiante de la universidad en Cambridge. Durante sus años de abogado publicó entre 200 y 300 artículos y continuó su copioso trabajo a lo largo de toda su vida. La colección masiva Collected Mathematical Papers de Cayley contiene 966 artículos y consta de 13 grandes volúmenes con un promedio de 600 páginas cada uno. Es casi imposible hallar un área dentro de las matemáticas puras que Cayley no haya estudiado y enriquecido.

Además de desarrollar la teoría de matrices, Cayley fue pionero en sus contribuciones a la geometría analítica, la teoría de determinantes, la geometría de n dimensiones, la teoría de curvas  y superficies, el estudio de formas binarias, la teoría de funciones  elípticas y el desarrollo de la teoría de invariantes.
El estilo matemático de Cayley refleja su formación legal ya  que sus artículos son severos, directos, metódicos y claros. Poseía una memoria fenomenal y parecía nunca olvidar nada que hubiera visto o leído alguna vez. Tenía además un temperamento  singularmente sereno, calmado y amable. Se le llamaba “el matemático de los matemáticos”.

Cayley desarrolló un interés poco común por la lectura de novelas. Las leía mientras viajaba, mientras esperaba que una junta comenzara y en cualquier momento que considerara oportuno. Durante su vida leyó miles de novelas, no sólo en inglés, sino también en griego, francés, alemán e italiano. Disfrutaba mucho pintar, en especial con acuarela y mostraba un marcado talento como especialista de esta técnica. También era un estudiante apasionado de la botánica y la naturaleza en general.

Cayley desarrolló un interés poco común por la lectura de novelas. Las leía mientras viajaba, mientras esperaba que una junta comenzara y en cualquier momento que considerara oportuno. Durante su vida leyó miles de novelas, no sólo en inglés, sino también en griego, francés, alemán e italiano. Disfrutaba mucho pintar, en especial con acuarela y mostraba un marcado talento como especialista de esta técnica. También era un estudiante apasionado de la botánica y la naturaleza en general. 

Cayley era, en el verdadero sentido de la tradición inglesa, un alpinista amateur e hizo viajes frecuentes al continente para realizar caminatas y escalar montañas. Cuenta la historia que decía que la razón por la que se unió al alpinismo fue que, aunque s entía que el ascenso era arduo y cansado, la gloriosa sensación de goce que lograba cuando conquistaba una cima era como el que experimentaba cuando resolvía un problema difícil de matemáticas o cuando completaba una teoría matemática intrincada. 

Las matrices surgieron con Cayley, relacionadas con las transformaciones lineales del tipo

donde a, b, c, d son números reales, y donde puede pensarse que son funciones que convierten al vector (x, y) en el vector (x’, y’). . Aquí se observa que la transformación está completamente determinada por los cuatro coeficientes a, b, c, d y por lo tanto puede simbolizarse por el arreglo matricial cuadrado 

al que se ha dado el nombre de matriz 2 x 2. Como dos transformaciones de este tipo son idénticas si y sólo si tienen los mismos coeficientes, Cayley definió que dos matrices

eran iguales si y sólo si a = e, b = f, c = g y d = h. Ahora suponga que la transformación anterior va seguida de la transformación

Entonces

 y
 
Esto llevó a Cayley a la siguiente definición para el producto de dos matrices:

que es, por supuesto, un caso especial de la definición general del producto de dos matrices. 

Es interesante recalcar cómo, en matemáticas, observaciones muy sencillas pueden llevar a definiciones y teoremas importan- tes.

Matemática en Babilonia

El sistema sexagesimal para la medición del tiempo y de ángulos fue una herencia de los babilónicos

Los registros que se tienen son de naturaleza arqueológica, en arcilla, y, por supuesto, se encuentran limitados de muchas maneras. No nos permiten una visión exacta de las características en que se desarrollaron cultural y matemáticamente. En relación con Mesopotamia, los registros más antiguos datan del 3500 a.C. y terminan en el 539 a.C, fecha en la que estos territorios fueron conquistados por Persia.

Henry Creswicke Rawlinson

Hay alrededor de 500 000 tablillas de arcilla que constituyen las fuentes principales de la cultura babilónica, y entre ellas unas 500 son de interés para las matemáticas. La mayoría de los registros de que se dispone son del periodo llamado Antiguo, más o menos alrededor del 2 500 a.C.

El sistema cuneiforme de escritura fue descifrado a mediados del siglo XIX por George Frederick Grotefend y Henry Creswicke Rawlinson

La aritmética más desarrollada en la civilización Mesopotámica fue la Acadiana. Dos de las características más importantes de su sistema numérico fueron la base 60 y la notación posicional. No obstante, debe señalarse que los babilonios no usaban solamente la base 60. En ocasiones, aparecía la base 10, pero otras bases también. Al igual que sucede con otras culturas y sistemas numéricos, con los babilonios se dio una forma combinada de sistemas numéricos determinados por circunstancias históricas o incluso regionales. En lo que sí parece haber consenso es que se dio el uso bastante sistemático de la base 60 para todos los cálculos relacionados con la astronomía.
Esto debe subrayarse:

"Tanto el sistema sexagesimal como el sistema del valor del lugar han permanecido en posesión permanente de la humanidad. Nuestra división presente de la hora en 60 minutos y 3600 segundos data de los sumerios, al igual que nuestra división del círculo en 360 grados, cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Hay razón para creer que esta opción de 60 en lugar de 10 como una unidad ocurrió en un esfuerzo por unificar sistemas de medida, aunque el hecho de que 60 tiene muchos divisores también puede haber jugado un papel. Acerca del sistema del valor posicional, su importancia permanente se ha comparado con el alfabeto (ambas invenciones reemplazaron un simbolismo complejo por un método fácilmente entendible por muchas personas). Es razonable suponer que hindúes y griegos obtuvieron las rutas de las caravanas hacia Babilonia; también sabemos que los académicos musulmanes lo describieron como una invención india. La tradición babilónica, sin embargo, puede haber influido en la aceptación tardía del sistema posicional.'' [Struik, A Concise History of Mathematics, p. 26].

No poseían sin embargo el cero, ni tampoco algún símbolo para expresar la diferencia entre la parte entera y la fraccionaria de un número. Estos problemas implicaban cierto nivel de ambigüedad en el sistema numérico. De hecho, se afirma que -aunque lo usaban- no se trataba de un sistema posicional absoluto.
Para los babilonios, los símbolos fundamentales eran del 1 al 10 y los números del 1 al 59 se formaban combinando algunos de estos símbolos.

Sumar y restar era un proceso de poner o quitar símbolos.
La multiplicación se hacía más o menos como se hace hoy; de hecho, dividir era multiplicar por el inverso. Usaban tablas para obtener los inversos.
En algunos problemas concretos aparecen las progresiones aritmética y geométrica.
Se sabe también que los babilonios podían expresar cuadrados, cubos, raíces cuadradas, cúbicas; eso sí: a través de tablas. En efecto, por medio de las tablas podían resolver ecuaciones de la forma:

También resolvían la ecuación ax=c como nosotros lo haríamos.
Los babilonios estaban en posesión de la fórmula cuadrática. Resolvían ecuaciones como

 Siempre que b>0 y c>0 

No tenían números negativos, por lo tanto, no eran aceptadas las raíces de ecuaciones cuadráticas con soluciones negativas.

Tablilla ubicada en la Universidad de Yale

No obstante, se supone que sí podían calcular con números irracionales. De hecho, realizaron un cálculo aproximado asombroso: el de la √2. Una tablilla ubicada actualmente en la Universidad de Yale, nos indica que los babilonios lograron desarrollar un algoritmo para determinar aproximadamente el valor de √2 mediante la expresión

 Este algoritmo permitió obtener la siguiente expresión

 

¿De qué manera los babilonios obtuvieron esta expresión? El análisis de las tablillas babilónicas permite conjeturar el procedimiento utilizado.

Es importante subrayar que los problemas algebraicos sólo podían establecerse y, por supuesto, resolverse, de una manera verbal.
En ocasiones, los babilonios emplearon símbolos para las incógnitas pero sin conciencia sobre el significado de ello.
En lo que se refiere a la geometría, para los babilonios ésta no se estudiaba por sí misma, no se consideraba tampoco una disciplina separada, y siempre en relación directa con problemas concretos surgidos del entorno. Sin embargo, conocían las áreas de rectángulos, de triángulos rectángulos, isósceles, trapecios (un lado perpedicular a dos paralelos).
Se conoce el uso de algunos tripletes pitagóricos. Es decir, se puede decir que conocían y usaban el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, hay un problema en una tablilla que se encontró en Susa que plantea:
Hallar el radio del círculo circunscrito al triángulo de lados 50, 50 y 60.
La solución usaba el teorema. Hay otro registro más o menos del año 1000 a.C. en que se ofrece una solución más detallada y con una lógica geométrica innegable:
Hallar la longitud y anchura de la siguiente figura, dadas 0;45 (0,75) y diagonal 1;15 (1,25). [El ";'' es la notación del investigador Otto Neugebauer para separar la parte entera de la fraccionaria, nuestra coma, solo que en forma sexagesimal (en su libro Mathematische Keilschrift-Texte).]

Tenían conocimiento de algunas propiedades de los triángulos semejantes.
Se dice que conocían el siguiente teorema:
"En un triángulo rectángulo, al trazar una perpendicular desde el ángulo recto hasta la hipotenusa, los triángulos que se forman a cada lado de esta perpendicular son semejantes entre sí y al triángulo entero''.

Tabla de Susa

Ese teorema lo consigna Euclides. Algunos autores opinan que sobre esto Euclides tuvo que haber tomado fuentes babilónicas.
De manera general, en las matemáticas babilonias tanto en la aritmética, el álgebra como en la geometría, las reglas eran establecidas por la prueba y el error, con sustento en la experiencia práctica. No hay evidencia de la idea de estructura lógica, o la de la demostración, o de la necesidad de ofrecer una justificación más allá de lo que la práctica o la evidencia física permitían.
Si se posee la mentalidad deductiva y axiomática que impondrá Grecia y que luego permearía Europa, se empujaría una tendencia a considerar este tipo de resultados como elementales o rudimentarios. Sin embargo, aquí hay un debate. Por ejemplo, porque los métodos de demostración que se pueden asumir como válidos no necesariamente deben establecerse solamente por el recurso a la deducción a partir de primeros principios, por más valiosa y necesaria que ésta pueda ser. La repetición sistemática, el uso, la contrastación con ejemplos o la búsqueda de contraejemplos podrían ser alternativas para asegurar la validez de un resultado.
En todo caso, aunque en geometría hay, también, resultados relevantes, en cuanto al álgebra y la aritmética, no se puede negar que poseían una impresionante sabiduría. Como veremos, el álgebra y la aritmética se verían sometidos a criterios más bien de naturaleza ideológica en el mundo griego, debilitando su progreso.

Trapezoide Babilónico

Matemáticas en Egipto y Mesopotamia | Egipto

Podemos decir que las matemáticas en las civilizaciones primitivas, en gran medida, refieren al cálculo de terrenos, a la decoración en cerámica, al comercio más trivial, a los modelos y diseños en la ropa o al recuento del correr del tiempo en la vida cotidiana

Influjo empírico y práctico en los orígenes de las matemáticas

Podemos decir que las matemáticas en las civilizaciones primitivas, en gran medida, refieren al cálculo de terrenos, a la decoración en cerámica, al comercio más trivial, a los modelos y diseños en la ropa o al recuento del correr del tiempo en la vida cotidiana. Esto no debe, sin embargo, verse con malos ojos. Porque se trata de un sentido íntimo de las matemáticas, imbricadas en la práctica humana, inmersas interactivamente en su entorno.

En relación con las culturas orientales primitivas, señala Struik:
"La matemática Oriental se originó como una ciencia práctica para facilitar el cómputo del  calendario, la administración de las cosechas, la organización de trabajos públicos, y la  recolecta de impuestos. El énfasis inicial estaba naturalmente en la aritmética práctica y  la medición. Sin embargo, una ciencia cultivada durante siglos por un oficio especial cuya  tarea no sólo es aplicarlo sino también para instruir en sus secretos, desarrolla  tendencias hacia la abstracción. Gradualmente, llegará a ser estudiada en sí misma. La  aritmética no sólo evolucionó hacia el álgebra porque permitió cómputos prácticos  mejores, pero también porque era el resultado natural de una ciencia cultivada y  desarrollada en las escuelas de escribas. Por estas mismas razones, la medición se  desarrolló hacia los principios -pero no más- de una geometría teórica.'' [Struik, A Concise  History of Mathematics, p. 18]

Escuela de Escribas

Dos de las civilizaciones de la Edad del Bronce relevantes para la historia de las ciencias y las matemáticas, importantes nutrientes de las matemáticas griegas, fueron la egipcia y la babilónica

Muchas de las matemáticas en las culturas orientales deben buscarse en esas realizaciones prácticas precisamente, para evaluar el conocimiento matemático de que disponían.

Dos de las civilizaciones de la Edad del Bronce relevantes para la historia de las ciencias y las matemáticas, importantes nutrientes de las matemáticas griegas, fueron la egipcia y la babilónica, pueblos que ocuparon regiones alrededor de importantes ríos: respectivamente, alrededor del Nilo y alrededor del Tigris y Éufrates. En el caso de estos últimos, es necesario decir que no se trataba de una sola civilización sino, más bien, de varios pueblos alrededor de las regiones mencionadas. A pesar de ello, se considera que, en relación con las matemáticas, hubo cierta continuidad y una tradición desde los tiempos más remotos hasta la conquista de esos territorios por parte de los macedonios. 

Egipcios

La historia de las matemáticas en Egipto, aunque diferente de la de los babilonios, no trascendió los límites prácticos y la evidencia empírica en sus construcciones teóricas.
Según la opinión de los historiadores, Egipto nace alrededor del año cuatro mil a.C. y su máximo esplendor se dio alrededor del año 2 500 a.C. Al igual que con Mesopotamia, la civilización siguió un curso que se vería drásticamente alterado solo hasta la conquista macedonia. Las principales referencias que tenemos en relación con las matemáticas egipcias son documentos escritos sobre papiro, un material frágil, por lo que realmente se tiene muy poca base para una descripción precisa de la naturaleza y los límites de la cultura y las matemáticas de esta civilización.
Uno de los papiros sobrevivientes es el llamado papiro de Moscú (se encuentra en el Museo de Bellas Artes de Moscú), otro el papiro Rhind -en honor de Henry Rhind- también llamado el papiro Ahmes, el nombre supuestamente del autor (este último en el Museo Británico). Se ha cifrado el año 1 650 a.C. para este último, y 1 850 a.C. para el primer papiro.

Papiro de Moscú

En relación con el primero, aparecen 87 problemas y sus soluciones, en el segundo 25.

Sobre la base de este sistema los egipcios desarrollaron aritmética de un carácter predominantemente aditivo, que significa que su tendencia principal era reducir toda la multiplicación a las sumas repetidas

Según la opinión de los historiadores, las matemáticas que aparecen en estos papiros ya eran conocidas por lo menos desde el año 3500 a.C. Struik hace la siguiente valoración sobre el carácter de estos problemas:
"Estos problemas ya eran erudición antigua cuando los manuscritos fueron compilados, pero hay papiros más pequeños de una fecha mucho más reciente incluso de los tiempos romanos, que no muestran ninguna diferencia en su aproximación. La matemática que ellos profesan es basada en un sistema decimal de numeración con signos especiales para cada unidad decimal mayor, un sistema con el que nosotros estamos familiarizados a través del sistema romano que sigue el mismo principio: MDCCCLXXVIII=1878. Sobre la base de este sistema los egipcios desarrollaron aritmética de un carácter predominantemente aditivo, que significa que su tendencia principal era reducir toda la multiplicación a las sumas repetidas. Por ejemplo, la multiplicación por 13 era obtenida multiplicando primero por 2, luego por 4, entonces por 8, y agregando los resultados de la multiplicación por 4 y 8 al número original.'' [Struik, D.: A Concise History of Mathematics, p. 20].

Numeración Egipcia

Es conocido el hecho de que la escritura egipcia era realizada por medio de los jeroglíficos, lo que también sucedía con los símbolos numéricos. Sin embargo, se puede considerar que usaron 3 sistemas de notación diferentes: jeroglífico, hierático y demótico. El primero mediante imágenes, el segundo simbólico, y el tercero una adaptación de la notación hierática. Se afirma que los dos primeros se usaron desde temprano en la historia egipcia, y precisamente el segundo aparece en los papiros mencionados. La última notación habría sido relevante en los periodos griego y romano de los egipcios.

Los egipcios poseían una aritmética básicamente aditiva, es decir, por ejemplo, reducían la división y la multiplicación a sumas.

Los egipcios poseían una aritmética básicamente aditiva, es decir, por ejemplo, reducían la división y la multiplicación a sumas. En la notación jeroglífica usaron símbolos específicos para las potencias de 10. En la hierática, también se usaba las potencias del 10, pero con menos símbolos.
La notación jeroglífica fue sustituida por la hierática.

Ahora bien, la multiplicación solo requería conocer la suma y la multiplicación por 2.


Otro detalle interesante es que, salvo en algunos casos, descomponían todas las fracciones en las llamadas fracciones unitarias. Por ejemplo, como  . En el papiro de Ahmes aparece una tabla con la descomposición de fracciones de la forma    en fracciones de la unidad. Incluye, entre otros,

A través de esta descomposición los egipcios realizaban operaciones aritméticas con todas las fracciones, en particular multiplicaciones y divisiones. Sin embargo, era un proceso complicado.

Para dividir usaban un método parecido al del mínimo común denominador.

Por otro lado, se piensa que tampoco tuvieron mucha conciencia sobre la naturaleza de los números irracionales.

El método de las fracciones de la unidad permitía ciertas aplicaciones prácticas. En el papiro de Ahmes, en relación con la distribución de panes y al pago a los empleados de un templo.

Los papiros mencionados contenían algo similar a lo que son las ecuaciones lineales en una incógnita. El problema 72 del papiro de Ahmes es: Si tenemos que intercambiar 100 panes de pesu 10 por un determinado número de panes de pesu 45, ¿cuál es este número determinado?

Pesu  =  Nº panes o jarras / heqats de grano

 Al igual que con los babilonios encontramos progresiones aritméticas y geométricas.

la geometría, la opinión más generalizada es que la usaban, al igual que los babilonios, como un instrumento para resolver problemas prácticos.

Sin embargo, no usaron mucho simbolismo.

En relación con la geometría, la opinión más generalizada es que la usaban, al igual que los babilonios, como un instrumento para resolver problemas prácticos. La aritmética y la geometría no aparecían separadas; más bien, lo que se daba era una aplicación de álgebra y aritmética a problemas relacionados con figuras geométricas que emergían en situaciones del entorno.

Según Herodoto, los resultados geométricos de los egipcios estaban vinculados a asuntos relativos a la propiedad de la tierra creados por las crecidas del río Nilo. Aquí encontramos procedimientos para calcular áreas de rectángulos, triángulos y trapezoides e, incluso, mecanismos para el cálculo del área de un círculo. Se sabe que, también, tenían procedimientos para calcular volúmenes de cubos, cilindros y otras figuras. En particular, un tronco de pirámide cuadrada.

Aparecen tripletes pitagóricos, por lo que alguna familiaridad debían tener con el teorema de Pitágoras.

Mucho de lo que hicieron los egipcios en matemáticas está vinculado a transacciones comerciales, edificaciones, cálculo de superficies, medidas de terrenos, y a diversos asuntos de naturaleza práctica en sociedades asentadas básicamente en la agricultura. 

En relación con la astronomía, la opinión es que su nivel estaba por debajo de los babilonios. No obstante, se reconoce que los egipcios lograron una determinación del año y un calendario bastante útiles. Lo que sí llama la atención es una combinación de astronomía y geometría para la edificación de templos que son hasta nuestros días un símbolo emblemático de esta civilización: las pirámides.