Matemáticas China

Un primer periodo, que señalan los especialistas, es el comprendido entre el 200 a.C. al 220 d.C, y corresponde a la dinastía Han. Se trata de una etapa en la que se advierten relevantes resultados en ciencias y tecnologías. Por ejemplo, en astronomía la construcción de calendarios e, incluso, hasta cuadrados mágicos que fueron una interesante tradición entre los chinos. Hubo importantes clasificaciones de plantas y animales. El papel, otro ejemplo, es de esta época.

cuadrados mágicos fueron una interesante tradición entre los chinos

Cuadrado Mágico sobre una tortuga.

Es en este contexto histórico cuando se compiló uno de los textos clásicos de las matemáticas chinas que tuvo una extraordinaria influencia: el Chiu Chang Suan Shu (Nueve capítulos sobre las artes matemáticas). Se afirma que sería algo así como los Elementos de Euclides en la cultura griega. Dos figuras se reconocen como sus creadores: Chang Shang (c. 150 a.C.) y Keng Shou Chang (c. 50 a.C.).

Chiu Chang Suan Shu

Se afirma que sería algo así como los Elementos de Euclides en la cultura griega

En un periodo posterior se reconoce el trabajo de dos matemáticos: Sun Tsu (c. 300 d.C.) y Tsu Chung Chih (c. 450 d.C.). Sun es una primera referencia para el análisis indeterminado.

Tsu Chung Chih

Un par de siglos después, en el año 656, apareció una enciclopedia matemática: Suan Ching Shih Shu (Los diez manuales matemáticos), que ejerció su influencia en los siglos siguientes.

Un siguiente momento ya se encuentra en la dinastía Sung (960 - 1 279), que tuvo importantes logros en las matemáticas. Por ejemplo, la obra Su Shu Chiu Chang (Las nueve secciones matemáticas), escrito por Chin Chiu Shao en el año 1247. En esta obra encontramos resolución (numérica) de ecuaciones de todos los grados y nuevos resultados en el análisis indeterminado. Estos métodos en la resolución de ecuaciones se completaron con la construcción de ecuaciones a partir de datos dados, algo que se encuentra en el libro Tshe Yuan Hai Ching, escrito por Li Yeh en el año 1248. 

En esta obra encontramos resolución (numérica) de ecuaciones de todos los grados y nuevos resultados en el análisis indeterminado

Yang Hui publicó varias obras en el periodo entre 1261 y 1275, entre ellas: Hsiang Chieh Chiu Chang Suan Fa Tsuan Lei (Análisis detallado de los nueve capítulos). Este último incluye resultados en series, ecuaciones de segundo grado con coeficientes negativos de x, numéricas de orden superior. 

Triángulo de Pascal de Chu Shih Chieh

Chu Shih Chieh fue otro matemático relevante, que se afirma fue un gran algebrista. Escribió dos tratados: Suan Shu Chi Meng (Introducción a los estudios matemáticos) y Szu Yuen Yu Chien (El precioso espejo de los cuatro elementos), el primero en 1299 y el segundo en 1303. Aquí encontramos, por ejemplo, el llamado triángulo de Pascal, métodos para resolver ecuaciones de grados superiores, resolución de ecuaciones usando un método que hoy juzgaríamos utilizó las matrices. 

Otro de estos grandes matemáticos, pero del que hay menos fuentes, es Kou Shou Ching (siglo XIII), quien se supone hizo la primera obra sobre la trigonometría esférica de la China.

Hay varios aspectos de las matemáticas chinas que vale la pena reseñar. 

Uno de ellos es la existencia de un sistema posicional con 9 números, que se adelantaría un milenio a los hindúes. 

Varillas

Veamos un asunto sumamente interesante: un sistema de números por medio de varillas (eran de marfil, madera, hierro colado, jade o bambú), que, desde el siglo III d.C., tuvo un papel importante en las características de las matemáticas chinas. Este sistema permitía usar números negativos (negras) y positivos (rojas). Una forma de este tipo de números se recoje en la tabla siguiente.

Números Chinos

Los números hengs(vertical) servían para representar unidades, centenas, decenas de millar, etc. Los tsungs(horizontales) , las decenas, millares, centenas de millar, etc.

Todas las operaciones se podían hacer como si se tratase de un ábaco. Es interesante que este sistema permitió incluso la resolución de ecuaciones, con lo que se expandió una forma de álgebra o aritmética geométrica. De hecho, es a partir de este tipo de representaciones que emergen las "matrices'' chinas.

Dentro de este sistema de varillas es que se desarrolló naturalmente un álgebra de números negativos.

La opinión es que debe colocarse en una tradición algebraica y aritmética similar a la desarrollada por los babilonios.

Chiu Chang

Posee 246 problemas repartidos en 9 capítulos que consideraban temas de interés social en ese escenario. Comentadores posteriores como Liu Hui en el siglo III y Yang Hui en el XIII ampliaron estos trabajos. La opinión es que debe colocarse en una tradición algebraica y aritmética similar a la desarrollada por los babilonios. En todos los casos que se plantean, se trata de problemas prácticos.

En un primer capítulo (Fang thien) se incluye las reglas para calcular áreas de triángulos, trapecios, círculos, rectángulos, así como una aritmética de fracciones.

El segundo capítulo es de porcentajes y proporciones.

El cuarto es sobre extracción de raíces cuadradas y cúbicas. Aquí había una base geométrica para proseguir los procedimientos. De hecho, posteriormente, el método que usaron sirvió en la resolución de ecuaciones de segundo grado. Se dice que este método también sería adoptado por los coreanos y japoneses. 

El capítulo quinto (Shan kung) incluye procedimientos para calcular volúmenes del cilindro, pirámide rectangular, tetraedro, tronco de pirámide cuadrangular, y el tronco de prisma recto triangular (este último en Occidente se iría a consignar hasta Legendre, en 1794).

El octavo capítulo aborda la solución de ecuaciones simultáneas con 2 o 3 incógnitas. Esto se hace por medio de tablas con un método semejante al moderno matricial. Con ese procedimiento se incluían también números negativos.

Es decir, matrices, un procedimiento similar al método de eliminación (en Occidente, se llamaría de Gauss), e incluso una forma de la regla de Cramer estuvieron presentes en las matemáticas chinas varios siglos antes de que los europeos los desarrollaran. Se trata de un método que no fue usado en ninguna otra tradición cultural, y se piensa que fue derivado casi directamente de las características del sistema de varillas.

Este texto matemático, uno de los más antiguos del mundo, es por supuesto más amplio y rico que los que se poseen de las civilizaciones egipcias y babilónicas. 

A partir del siglo XIII tenemos los mejores desarrollos de los chinos en las matemáticas

Resultados relevantes

Diagrama Kou ku, Se trata del teorema de Pitágoras

A partir del siglo XIII tenemos los mejores desarrollos de los chinos en las matemáticas. Estos se pueden resumir así: la resolución de ecuaciones numéricas de orden superior, basada en la extracción de raíces cuadráticas y cúbicas del Chiu Chang y en el uso de triángulo de Pascal. Este método se rastrea desde Chia Hsien (c. 1050), y se indentifica con el nombre de li cheng shih shuo (resolución de coeficientes mediante una gráfica). Había otro método que se llamaba tseng cheng fang fa o método de extracción mediante suma y multiplicación.

Por otra parte, en torno a la confeción de calendarios y las necesidades de la astronomía, se desarrollaron procedimientos en las ecuaciones indeterminadas. Hubo también fórmulas de interpolación cúbica (Kuo Shou Ching, c. 1275), algo parecido al método de Newton-Stirling. Esto no se ampliaría en Europa sino hasta el siglo XIX.

Un par de detalles adicionales: el teorema Kou ku. Se trata del teorema de Pitágoras. Este aparece demostrado en un texto muy antiguo llamado Chou Pei.

La relevancia del teorema y sobre todo sus aplicaciones fueron muy importantes para construir una álgebra geométrica

La demostración se hace por medio de diagramas. George Gheverghese Joseph cita un pasaje

traducido por Needham con el procedimiento, que bien vale la pena introducir:

"Cortemos un rectángulo (por la diagonal), de manera que la anchura sea 3 (unidades) y la longitud 4 (unidades). La diagonal entre los (dos) extremos tendrá entonces una longitud de 5. Ahora, tras dibujar un cuadrado sobre esta diagonal, circunscribirlo con semirrectángulos como el que ha sido dejado en el exterior, de modo que se forme una figura plana (cuadrada). Asi, los (cuatro) semirrectángulos exteriores, de anchura 3, longitud 4 y diagonal 5. forman en conjunto dos rectángulos (de 24 de área); luego (cuando esto se resta de la figura plana cuadrada de área 49), el resto tiene 25 de área. Este (proceso) se llama 'apilamiento de rectángulos'.'' 

La relevancia del teorema y sobre todo sus aplicaciones fueron muy importantes para construir una álgebra geométrica; es decir, lo que a veces no se reconoce: se dio un intento serio de los chinos por usar la geometría en la demostración de resultados algebraicos y aritméticos.

Otro detalle, el cálculo de Liu Hui hizo una aproximación en su comentario del Chiu Chang por un método parecido al de exhausción que usara Arquímedes.

Existen en el Chiu Chang procedimientos para la extracción de raíces cuadradas y cúbicas. Estos fueron refinados por Sun Tsu y otros y fueron ampliados decisivamente en el siglo XIII a raíces de cualquier grado.

puede afirmarse que los chinos poseían una mentalidad dominantemente práctica y técnica

Un balance

Durante la Edad Media, los chinos llegaron a alcanzar avances que se encontraban muy por delante de los obtenidos por los europeos. No obstante, no tenían los mismos marcos teóricos, ideológicos o sociales para obtener resultados similares a los que una serie de hechos provocaron en Occidente. Sin duda, puede afirmarse que los chinos poseían una mentalidad dominantemente práctica y técnica.

Muchos encuentran un vínculo entre esa actitud práctica y la filosofía china. Se dice que el taoísmo y especialmente el confucianismo no diferencian entre los dominios de los seres humanos y la naturaleza, y afirman el mundo como un organismo muy amplio en el cual aparecen cinco fases (agua, fuego, metal, madera, y tierra) y dos fuerzas, el ying y yang, y todo se encuentra en una interacción constante. Sea como sea, no se puede negar la existencia de un énfasis en los aspectos místicos entre los taoístas. Por otro lado, sí se puede observar una visión utilitaria y técnica en el campo de los seguidores de Confucio.

Por supuesto, una visión de esta forma tenía que afectar otros dominios aparte de la ciencia, en lacultura general. En lo que se refiere a la astronomía, por ejemplo, los chinos consiguieron obtener muchas observaciones acerca de los astros celestes; también, obtuvieron resultados en las mediciones del tiempo y otros instrumentos de medición. Sin embargo, no se encuentra mucha elaboración acerca de las teorías cosmológicas.

En lo que se refiere a la química y la física, los descubrimientos en general estaban asociados a aplicaciones prácticas. No menos sucedía con la medicina, en la que desarrollaron una gran cantidad de mecanismos y técnicas prácticas, que han resultado en algunos casos superiores a las europeas incluso hasta nuestros tiempos, pero que no estaban fundadas en teorías. De nuevo, una tendencia práctica. Esto por supuesto posee ventajas y desventajas.

 

Arquímedes de Siracusa(287 a.C-212a.C)

Se considera el matemático más brillante de toda la Antigüedad

Nació en Siracusa, en la Magna Grecia(la Actual Sicilia), en el 287 a.C. y murió en el 212 a.C..Hijo del astrónomo Fidias. Visito Egipto, donde supuestamente inventó el tornillo de Arquímedes, que hasta hace poco era ampliamente utilizado para elevar agua del Nilo para irrigacipon. Es probable que visitara a Euclides en Alejandría, y seguro que mantuvo correspondencia con matemáticos alejandrinos.

Actual Siracusa

Se considera el matemático más brillante de toda la Antigüedad. Recibió su educación en Alejandría. Se afirma con toda justicia que el trabajo geométrico de Arquímedes fue el punto máximo de la matemática alejandrina.

 

Arquímedes usó resultados de Euclides y Aristeo. Demostró teoremas sobre áreas y volúmenes por medio del método de exhausción, es decir, usando figuras líneas inscritas y circunscritas para llenar el área de un volumen. Sin embargo, también utilizó el método indirecto en algún momento de sus demostraciones. Es decir, no llegó a dar el salto hacia el concepto moderno de límite. Esto lo realiza en su libro Sobre la esfera y el cilindro. Debe mencionarse que el segundo libro de esta obra incluye resultados de álgebra geométrica.

Principio de arquímedes: un cuerpo al sumerguirse en el agua, el agua ejerce sobre ese cuerpo una presión vertical de abajo hacia arriba que es igual al peso del agua desplazada

Es famoso en muchos campos. Se conoce muy bien el principio que lleva su nombre y que afirma que al sumergirse un cuerpo en el agua, el agua ejerce sobre ese cuerpo una presión vertical de abajo hacia arriba que es igual al peso del agua desplazada. Se dice que aquí empezó la hidrostática.

Arquímedes realizó importantes estudios sobre palancas. 

Apoyo Bélico

Sus habilidades matemáticas fueron insuperables y de amplio alcance. Les dio un uso práctico y construyó enorme máquinas de guerras basadas en su ley de la palanca, capaces de lanzar rocas enormes contra el enemigo. Sus máquinas fueron utilizadas con gran efecto en el sitio romano de Alejandría en el 212 a.C. Utilizó incluso la geometría de la reflexión óptima para concentrar los rayos solares sobre una flota romana e incendiar las naves.

Arquímedes será siempre recordado por su obra sobre círculos, esferas y cilindros

Legado Matemático:

Hizo importantes contribuciones a la geometría, estuvo en la vanguardia de las aplicaciones de las matemáticas al mundo natural y fue un ingeniero consumado. Pero para los matemáticos, Arquímedes será siempre recordado por su obra sobre círculos, esferas y cilindros, que ahora asociamos con el número Π. Por supuesto, los griegos no trabajaban directamente con Π; ellos lo veían geométricamente como la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.

Lambert

Culturas anteriores habían advertido que la circunferencia de un círculo es siempre el mismo múltiplo de su diámetro, y sabían que este múltiplo era aproximadamente 3 ½, quizá un poco mayor. Los babilonios utilizaban 3 ⅛. Pero Arquímedes fue mucho más lejos; sus resultados iban acompañados de demostraciones rigurosas, en el espíritu de Eudoxo. Hasta donde sabían los griegos, la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro podría ser irracional. Ahora sabemos que realmente es así, pero la demostración tuvo que esperar hasta 1770, cuando Johann Heinrich Lambert

ideó una.

La geometría griega trabajaba mejor con polígonos: formas hechas de líneas rectas. Pero un círculo es curvo, de modo que Arquímedes se acercó al mismo aproximándolo por polígonos. Para estimar Π, él comparó la circunferencia de un círculo con los perímetro de dos series de polígonos: una serie situada en el interior del círculo, y la otra a su alrededor. Los perímetros de los polígonos dentro del círculo deben ser más cortos que el círculo, mientras que los de fuera del círculo deben ser más largos que el círculo. Para hacer el cálculo más fácil, Arquímedes construía sus polígonos bisecando repetidamente: los lados de un hexágono regular para obtener poligonos regulares con 12 lados, 24, 48 y asi sucesivamente. Se detuvo en 96. Sus cálculos demostraban que:

Los perímetros de los polígonos dentro del círculo deben ser más cortos que el círculo, mientras que los de fuera del círculo deben ser más largos que el círculo

La obra de arquímedes sobre la esfera es de especial interés, porque no sólo conocemos su demostración rigurosa sino la forma en que la encontró. La demostración se da en su libro sobre la esfera y el cilindro circunscrito, y que las áreas de aquellas partes de la esfera y del cilindro que yacen entre dos planos paralelos cualquiera son iguales. En Lenguaje moderno, Arquímedes demostró que el volumen de una esfera es , donde r es el radio, y el área de su superficie es . Estos hechos se siguen utilizando hoy.

La demostración hace un uso de la exhausción. Este método tiene una limitación importante: hay que saber cuál es la respuesta antes de tener muchas posibilidades de demostrarla. Durante siglos los estudiosos no tenían ninguna idea de cómo Arquímedes conjeturó la respuesta. Pero en 1906 el estudioso danés Heiberg estaba estudiando un pergamio del siglo XII en el que había escritas unas oraciones. Él advirtió líneas tenues de una inscripción anterior que había sido borrada para dejar lugar para las oraciones. Descubrií que el documento original era una copia de varias obras de Arquímedes, algunas de ellas previamente desconocidas. Una obra de Arquímedes, el Método de los teoremas mecánicos, explica cómo conjeturar el volumen de una esfera. La idea consiste en hacer rebanadas infinitamente delgadas de la esfera y colocar las rabanadas en un plato de una balanza; en el otro plato se cuelgan rebanadas similares de un cilindro y un cono, cuyos volúmenes Arquímedes ya conocía, La ley de la palanca da el valor buscado para el volumen.

René Descartes (1596-1650) | Padre de la Geometría Analítica

Su Vida:

La Haya, Holanda

Nació en La Haya, Turena, Francia, en el año 1596. Se graduó como abogado en la Universidad de Poiters. Sin embargo, en 1616 empezó a estudiar matemática como alumno del cientifico holandés Isaac Beeckman. Éstas serían una gran pasión para este intelectual francés quien incluso fue soldado durante nueve años de su vida. Vivió cerca de veinte años en Holanda, donde escribió la mayoría de sus obras. Probablemente, fue en este país en el que encontró las condiciones, en particular la paz social y política, para desarrollar su pensamiento. Descartes, con un gran sentido pragmático y tal vez incluso defensivo, no quiso entrar en contradicción en Francia con su religión y sus leyes y prefirió instalarse en Holanda desde el año 1629. Una neumonía acabó con su vida, en el año 1650, después de haber estado un año en la corte de la Reina Cristina de Suecia.

Descartes fue un gran intelectual en su tiempo. Un gran filósofo, físico y matemático, e incluso uno de los fundadores de la biología moderna. 

Filósofo, Físico, Matemático y pre-biologo.

Regulae ad Directionem Ingenii

Descartes fue un gran intelectual en su tiempo. Un gran filósofo, físico y matemático, e incluso uno de los fundadores de la biología moderna. Tuvo una importante influencia durante el siglo XVII. Sus dos primeros libros fueron Regulae ad Directionem Ingenii ("Reglas para la dirección de la mente'') en 1628, y Le Monde ("Sistema del mundo'') en 1634. Esta primera obra publicada de manera póstuma. 

ofreció una prueba de la existencia de Dios a través de su método

 

Su relación con la iglesia.

En cuanto a la segunda obra, Descartes no la quizo publicar por temor a la persecución de la Iglesia Católica. En ella explicaba cómo los planetas giraban alrededor del Sol. Sin duda, la obra más decisiva intelectualmente fue el Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences ("Discurso del Método''), 1637, que contiene 3 apéndices que no suelen incorporarse en las típicas ediciones modernas del libro. Estos son: La Géométrie, La Dioptrique y Les Méteores.

Descartes fue un religioso devoto. De hecho, ofreció una prueba de la existencia de Dios a través de su método. Sin embargo, la Inquisición decidió castigar sus obras colocándolas en el Índice de libros prohibidos poco tiempo después de su fallecimiento.

Llegó a la conclusión de que ese método era, en esencia, el de las matemáticas, o por lo menos lo que él pensaba que era el método de éstas.

El Método:

Descartes se colocó en ruptura con los planteamientos escolásticos y medievales. Trató de proponer un método diferente para el establecimiento del conocimiento verdadero del mundo.

Llegó a la conclusión de que ese método era, en esencia, el de las matemáticas, o por lo menos lo que él pensaba que era el método de éstas. Descartes establecía tres principios: en primer lugar, la aceptación como cierto solamente de aquello que aparezca en la mente como cierto y verdadero; en segundo lugar, que este proceso ofrezca ideas básicas, claras y distintas y, en tercer lugar, finalmente, que a partir de estas ideas y a través de la deducción lógica es posible obtener el conocimiento verdadero.

Para Descartes existen verdades innatas, claras y distintas. Para ello se basaba en un "principio de la evidencia''. Formula la "duda metódica'' que exige una evidencia racional para el conocimiento. Usando este método, Descartes concluye ciertas verdades. La primera es la existencia propia, con su famoso "pienso luego existo''. En segundo lugar, concluye la percepción del mundo exterior: el mundo existe. En tercer término, es la comprensión de la estructura matemática del mundo: la estructura de la realidad es matemática. Claro, Descartes se pregunta si estas evidencias podrían ser el resultado o la acción de un genio maléfico y es aquí, precisamente, donde hace intervenir la existencia de Dios. La existencia de Dios es el fundamento de sus evidencias racionales. 

Para Descartes la esencia de la ciencia estaba constituida por las matemáticas

Las Matemáticas:

Para Descartes la esencia de la ciencia estaba constituida por las matemáticas. La geometría, por ejemplo, ofrecía primeros principios para deducir las propiedades del espacio. Esto hacía Descartes al reducir la naturaleza de la materia a las propiedades de forma, extensión y movimiento en el espacio y el tiempo. Extensión y movimiento eran la clave. Precisamente, por ser estas propiedades expresables matemáticamente, Descartes afirmaba la naturaleza matemática de la realidad.

Dios creó el mundo bajo un diseño matemático

El sentido matemático, sin embargo, tenía para Descartes un origen divino. Dios creó el mundo bajo un diseño matemático. Si bien este gran intelectual de todos los tiempos ayudó en la ruptura con el pensamiento medieval escolástico y aristotélico, abriendo posibilidades para el pensamiento libre y para el progreso de las ciencias, también enfatizó la existencia de verdades a priori sin recurrir a la experiencia sensorial práctica, es decir, verdades de naturaleza metafísica.

Para Descartes, hay dos dimensiones decisivas de las matemáticas: la axiomática y la derivación lógica. Él pensaba que estas dimensiones podían ser aplicadas en todas las áreas del conocimiento.

Descartes propuso una visión mecanicista en el conocimiento de la realidad

Ruptura con el pensamiento medieval:

¿Y cómo se separaba del pensamiento medieval y escolástico? La escolástica había establecido un modelo de la realidad organicista. A la par de esta metodología que enfatiza las matemáticas, Descartes propuso una visión mecanicista en el conocimiento de la realidad. Se trataba de entender que todos los fenómenos de la naturaleza se podían describir a través de leyes de la mecánica. Hay aquí, por supuesto, una influencia de los hallazgos en mecánica y física de la época. Esta visión ha tenido una gran influencia en la cultura y la ciencia occidentales hasta nuestros días. Entonces: Descartes se oponía a la visión medieval con un esquema mecanicista y matemático. Otro ejemplo: Descartes afirmaba que la tierra y los astros eran de la misma naturaleza. Más aun, afirmaba que el universo era indefinido e, incluso, pensaba que eran posibles alteraciones momentáneas de la leyes de la naturaleza. Esto era una confrontación directa con la visión aristotélica y escolástica que establecía un mundo creado e inmutable que se conservaba perpetuamente.

Por otra parte, para Descartes los dominios de la ciencia y la fe debían ser separados claramente. Los argumentos de la fe y la autoridad no podía formar parte del razonamiento crítico y científico.

En esto, Descartes convergía también con Kepler y Galileo.

Descartes promovió el método deductivo y el poder de la razón. En éste las matemáticas eran decisivas

Mientras que Bacon enfatizó el papel de la experiencia empírica, Descartes promovió el método deductivo y el poder de la razón. En éste las matemáticas eran decisivas. En su visión mecanicista del mundo, reducía el espacio a las categorías de extensión y movimiento, dentro de una cosmología regulada por la leyes de la mecánica, y buscaba reducir esta última precisamente a la geometría. No puede olvidarse que Descartes es uno de los creadores de la geometría de coordenadas, y de una visión de las matemáticas que reafirmaba el papel del álgebra de una manera novedosa, a pesar de que siempre consideraba a la geometría como la disciplina más importante de las matemáticas.

La notación moderna de coordenadas dio fruto en la obra de Descartes

Su legado Matemático:

La notación moderna de coordenadas dio fruto en la obra de Descartes. En la vida cotidiana estamos familiarizados con espacio de dos y tres dimensiones, y se necesita un gran esfuerzo de imaginación para contemplar otras posibilidades. Nuetro sistema visual presenta a cada ojo el mundo exterior como una imagen bidimensional (como la pantalla del televisor). Imágenes ligeramentes diferentes procedentes de cada ojo se combinan en el cerebro para dar una sensación de profundidad, gracias a la cual percibimos el mundo circundante como si tuviera tres dimensiones.

 

Su idea es que la geometría del plano puede reinterpretarse en términos algebraicos.

La clave para los espacios multidimensionales es la idea de un sistema de coordenadas, que fue introducido por Descartes por Descartes en un apéndice, “la geometría”, a su “Discurso del método”. Su idea es que la geometría del plano puede reinterpretarse en términos algebraicos. Su enfoque es esencialmente el que ya se ha señalado. Escogemos un punto en el plano y le llamamos el origen. Trazamos dos ejes: líneas que pasan por el origen y se cortan a ángulos rectos. Etiquetamos un eje con el símbolo x y el otro con el símbolo y. Entonces cualquier punto P en el plano está determinado por el par de distancias(x,y), que nos dice lo lejos que está en el punto del origen cuando se mide paralelamente a los ejes x e y, respectivamente.

Por ejemplo, en un mapa x podría ser la distancia al este del origen (los valores negati vos representan distancias al oeste), mientras que y podría ser la distancia al norte del origen (los valores negativos representan las disntacias al sur). Las coordenadas funcionan también en un espacio tridimensional, pero ahora dos números no son suficientes para localizar un punto. Sin embargo, tres número sí lo son. Además de las distancias este-oeste y norte-sur , necesitamos saber lo lejos que esta un punto por encima o por debajo del origen. Normalmente utilizamos un número positivo para distancias hacia arriba, y un número negativo para distancias hacia abajo. Las coordenadas en el espacio toman la forma (x,y,z).

Por esto se dice que el plano es bidimensional, mientras que el espacio es tridimensial. El número de dimensiones viene dado por cuántos números necesitamos para especificar un punto.

En el espacio tridimensional, una única ecuación que incluye x,y y z define normalmente una superficie. Por ejemplo, x^2 y y^2 +z^2 =1, afirma que el punto (x,y,z) está siempre a una distancia 1 del origan, lo que implica que yace en la superficie de la esfera unidad cuyo centro es el origen.

Nótese que la palabra “dimensión” no está definida aquí por si misma. No encontramos el número de dimensiones de un espacio encontrando algunas cosas llamadas dimensiones y contándolas luego. En su lugar, calculamos cuántos números se necesitan para especificar una posición en el espacio, y ése el número de dimensiones.