El Álgebra del siglo XIX | Los grupos

Hasta el mismo siglo XIX, el álgebra tenía como su problema central la resolución de ecuaciones algebraicas. Se trataba de encontrar raíces a ecuaciones utilizando las operaciones algebraicas básicas y la extracción de raíces. Los procedimientos obtenidos acumulados empujaron a modificaciones relevantes en este siglo. Y en particular nos interesa el desarrollo de la teoría de grupos, los hipercomplejos, y las matrices y los determinantes. 

Los grupos

Antes de ir a los progresos en la resolución de las ecuaciones algebraicas, debe tomarse en cuenta algunos elementos que empujaron en el álgebra y la teoría de los grupos. Debe aquí mencionarse que la geometría desde antes del siglo XIX sufrió un cambio decisivo pues empezó a perder un sentido métrico que dominó los siglos anteriores, debido al concurso de la geometría proyectiva y la misma no euclidiana.

Ya dentro de la gran producción de Euler se encuentran asuntos que no se pueden dejar de caracterizar como relativos a los grupos, por ejemplo la descomposición de un grupo conmutativo en subgrupos o relaciones entre el orden de un subgrupo y el grupo madre. Y, luego, Gauss también trabajó con grupos conmutativos tanto en el estudio de las formas cuadráticas (transformaciones y sustituciones en las formas) como al estudiar las congruencias (el orden, por ejemplo). También, debe señalarse: el matemático Möbius ofreció, desde la segunda década del siglo, una clasificación de las geometrías, notando que existían propiedades invariantes bajo un grupo particular que permitían definir una gometría particular. No obstante, no llegó a comprender o construir el concepto de grupo.

Lo de Gauss, como siempre, es importante: en sus Disquisitiones Arithmeticae, además, estudió el problema de encontrar las raíces de xⁿ-1 = 0 con n primo impar

Esta ecuación se llama la ecuación ciclotómica. Salvo x=1, todas las raíces son imaginarias. La ecuación también se llama "ecuación para la división de un círculo''. Y eso es debido a que las raíces se pueden escribir como

Veamos eso con detalle.
Sea r una raíz. Gauss encontró que todas las raíces tenían la forma:

para cualquier entero positivo o negativo e.

Los métodos que desarrolló en esta empresa apuntaban directamente a los grupos. Este era un primer elemento por tomar en cuenta.

Una famosa consecuencia geométrica de su trabajo fue la demostración de que se puede inscribir un polígono regular de 17 lados en el círculo usando regla y compás. Esto se debía a que las raíces complejas al dibujarse geométricamente son vértices de un polígono regular de n lados círculo unitario. 

Lagrange, en 1770, había estudiado funciones con raíces que preservaban su valor aunque se permutaran algunas de sus raíces. Su trabajo lo llevó a considerar subgrupos de un grupo de substituciones. Por ejemplo, si x_1,x₂,x₃ son raíces de una ecuación cúbica y si se toma como 1, α, α² las raíces cúbicas de la unidad, encontró que la expresión x_1,+α x₂,+α²x₃ posee solamente 2 valores al realizar las 6 permutaciones de las raíces x_1,x₂,x₃

Ruffini en su Teoria generale delle equazioni (1799), con base en los trabajos de Lagrange, había observado que el conjunto de substituciones de raíces que dejaban invariante el valor de una función racional es un subgrupo del grupo simétrico. Lagrange había demostrado también que el

orden de un subgrupo debe dividir al del grupo. Ruffini incluso hablaba de permutación y usaba la propiedad de cierre, y diferenciaba entre grupos cíclicos y no cíclicos (llamados de otra manera). En 1802, muestra que en una ecuación irreducible el grupo de permutaciones asociadas es transitivo.

Cauchy, ya en 1815, también dedicó trabajos a las substituciones. Por ejemplo, demostró que el número de valores diferentes de una función no simétrica n letras no podía ser menor que el primo más grande p menor que n, excepto por el .

Otro de los elementos por considerar fue el trabajo de Abel. Aunque siendo muy joven Abel pensó que había obtenido la solución por radicales de la ecuación de grado 5, rápidamente se percató de su error, y más bien trató de demostrar su insolubilidad. Al tratar de resolver la división de la lemniscata encontró una clase de ecuaciones algebraicas resolubles por medio de radicales: las ecuaciones abelianas. Estas son ecuaciones cuyas raíces, dada una de ellas, digamos α₁, son de la forma: 

Con f₁ son de la funciones racionales, y un par de condiciones más.

En este trabajo Abel introdujo las ideas de campo y de polinomio irreducible aunque sin usar esos

términos.

Este es un buen lugar para mencionar un poco más del trabajo de Abel. Niels Henrik Abel, nació en Findö, Noruega, en 1802, tuvo una vida trágica, asediado por la pobreza y la enfermedad, casi como la de Galois. Fue este joven quien demostró que no se podía resolver la ecuación de quinto grado por medio de radicales. Trabajó la convergencia de series, funciones elípticas, las llamadas "integrales abelianas'' (integrales de funciones algebraicas de una variable) y contribuyó a fundamentar la teoría de series infinitas. Cinco de sus artículos fueron recogidos en el Journal für die reine und angewandte Mathematik (editado por August Leopold Crelle).

En el año 1827 publicó la primera parte de sus Recherches sur les fonctions elliptiques donde se reconoce que comienza la teoría de las funciones elípticas doblemente periódicas. Debe recordarse que los grupos conmutativos se denominan también "abelianos''.

Este es el contexto en que se desarrolló el trabajo de Evariste Galois. El propósito principal de Galois era determinar las propiedades de las ecuaciones solubles por medio de radicales. El asunto es más o menos como sigue.

El concepto base es el de permutación o substitución, que ya mencionamos: dados, por ejemplo, tres objetos x_1,x₂,x₃ , un cambio en su orden es una permutación. En nuestro caso: x_1,x₂,x₃ .Se puede aplicar 2 permutaciones seguidas: hay composición de ellas (se llama producto). El conjunto de todas las permutaciones de un conjunto de n elementos se llama el grupo simétrico del conjunto. Está integrado por n!  del permutaciones. Con 3 elementos permutaciones 3! = 3x2x1 = 6

Como usted sabe, las propiedades que debe satisfacer un conjunto de elementos para ser un grupo son las de conmutatividad, asociatividad, tener un elemento neutro y poseer cada elemento un inverso. Las permutaciones o substituciones satisfacían esas condiciones.

Para que se tenga una idea de la relevancia y aplicación del concepto (lo que a veces no se trasmite

en los cursos de álgebra usuales), varias de las simetrías de figuras geométricas forman grupos. Por

ejemplo, las simetrías de un polígono regular de n≥3 lados son un grupo de orden 2n . Se considera y se numeran los vértices. En el caso del cubo, los 8 vértices. Las simetrías incluyen la rotación: 

y 

Pero volvamos a las ecuaciones algebraicas. Si se considera una ecuación irreducible con raíces, las propiedades del grupo simétrico ofrecen las condiciones para que pueda ser resoluble por radicales. Una ecuación algebraica irreducible se puede resolver por radicales siempre y cuando su grupo simétrico asociado lo sea, pero la solubilidad de un grupo es algo complejo.

Otro ejemplo de grupo nos lo da Keyser: "Todos han visto el bonito fenómeno de una ardilla gris haciendo girar rápidamente la jaula cilíndrica de alambre que la encierra. La jaula puede rodar en cada uno de los dos caminos, sentidos o direcciones opuestas. Permitámonos pensar la rotación en uno solo de los caminos y llamemos giro a cualquier rotación, tanto si es grande como pequeña. Cada giro traslada un punto de la jaula a lo largo de un arco de círculo de una cierta longitud, corta o larga. Llamen R al giro especial (de 360° ) que traslada cada punto de la jaula hacia atrás hasta su posición inicial. Supongan que S₁₀ es el sistema cuya clase C es la clase de todos los giros posibles y cuya * es la adición de giros, tal que a*b debe ser todo el giro obtenido añadiendo al giro a el giro b. Pueden ver inmediatamente que S₁₀ tiene la propiedad de grupo, ya que la suma de dos giros cualesquiera es un giro; también es evidente que se satisface la propiedad asociativa [condición (b)]. Noten que R es equivalente a no girar, equivalente a estar en reposo, o, si quieren, equivalente al giro cero.

Noten que si a es un giro mayor que R es mayor que y menor que 2R, a es equivalente al exceso de a sobre R; que si a es mayor que 2R y menor que 3R, a es es equivalente al exceso de a sobre 2R y así sucesivamente; de esta manera, cualquier giro mayor que R y distinto de un múltiplo de R es equivalente a un giro menor que R; permitámonos considerar cualquier giro mayor que R como idéntico a su equivalente menor que R ; entonces solamente hemos de considerar R y los giros menores que R, de los cuales hay una infinidad; ustedes pueden ver inmediatamente que, si a giro cualquiera, a*R = R*a = a, lo que significa que la condición (c) se satisface con R como elemento neutro. Después noten que, para cualquier giro a. Por esto, como ven, S₁₀, es un grupo. Demuestren que es abeliano. Encontrarán instructivo examinar el sistema derivado del S al permitir que C sea la clase de todos los giros (hacia adelante y hacia atrás)''. [Keyser, Cassius J. : "El concepto de grupo'' pp. 334, 335]

La noción de grupo fue construida por Galois, tiene grandes aplicaciones, pero, como hemos mencionado antes, su influencia tendría lugar solamente muchos años después de su muerte. 

En 1844, Cauchy publicó un trabajo sobre la teoría de permutaciones, y posteriormente muchos otros. Cauchy dio la definición de grupo como "sistema conjugado de sustituciones''. Esta expresión y la de grupo cohabitarían años hasta que, finalmente, se impuso el término de grupo.

Ya desde 1849 Cayley había publicado un artículo que conectaba permutaciones y el trabajo de Cauchy; y luego en 1854 publicó 2 artículos que contienen la definición abstracta de grupo y muestra que las matrices y los cuaterniones son grupos. Se dedicó al asunto mucho más tiempo y en 1878 publicó su libro: The Theory of Groups, donde señala cómo todo grupo finito se puede representar como un grupo de permutaciones.

Betti había publicado artículos sobre la teoría de permutaciones y ecuaciones desde 1851; de hecho, fue el primero en probar que el grupo de Galois asociado a una ecuación era el grupo de permutaciones.

Aunque Liouville publicó los trabajos de Galois, en 1846, y reconoció su relación con los trabajos sobre permutaciones realizados por Cauchy, no puso énfasis en el concepto clave de grupo. Por eso, no es sino hasta Jordan en artículos de 1865, 1869 y 1870 que se subraya este concepto (define isomorfismo en grupos de permutaciones).

El punto histórico decisivo se estableció con Klein que utilizó el concepto de forma central para clasificar geometrías. Otros matemáticos que contribuyeron a la teoría de grupos fueron Hölder, Frobenius, Netto y von Dyck (este último fue el creador de los grupos libres y quien definió grupo por medio de generadores y relaciones).

Vamos ahora a introducir una nota adicional que, en nuestra opinión, retrata la realidad social y personal de la construcción matemática y del conocimiento en general. Se especula si Cauchy fue influenciado por Galois, pues uno de los articulos presentados por Galois en 1829 fue precisamente

a Cauchy, para que lo entregara a la Académie, quien al parecer convenció a Galois de rehacerlo para presentarlo nuevamente en 1830, y poder concursar por un premio: Grand Prix. ¿Tomó Cauchy resultados de Galois, sin reconocerle su contribución?

La definición de grupo que usaron tanto Galois como Cauchy se basaba en la propiedad de cierre nada más, porque se trabajaba sobre permutaciones, donde las otras propiedades salen por sí mismas.

Parece que Cauchy era dado a este tipo de comportamientos poco loables