Las Matemáticas en Alemania | siglo XIX | Cantor

Georg Cantor creó un nuevo campo en las matemáticas con la teoría de los "agregados'' (Mengenlehre), la que refería a una teoría de cardinales transfinitos. El punto de partida era reconocer la existencia del infinito actual. Cauchy y Weierstrass pensaban que solo se podía llegar a paradojas si se aceptaba la actualidad del infinito.
En 1872 Dedekind dio una definición de conjunto infinito: S es infinito si es semejante a una parte propia de él mismo. El asunto tiene, sin embargo, su historia. 

Por ejemplo, Galileo analizó la posibilidad de establecer una relación biunívoca entre el total de un conjunto y uno de sus subconjuntos. Por ejemplo, si se asocia a cada n un cuadrado perfecto n²:

Galileo se dio cuenta de que el número de cuadrados perfectos no era menor que el número de enteros naturales. Sin embargo, pensó que lo que sucedía era que las condiciones de mayor, menor o igual no se aplicaban a los conjuntos infinitos. De hecho, abundan los ejemplos que muestran el carácter infinito de los números naturales. Uno de ellos: existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de pares (y el de impares) y N.

Por eso, se puede decir que el conjunto de los pares (y el de los impares) tiene el mismo número de elementos que N (un número infinito). 

Bolzano en un libro que se titula Paradojas del infinito, 1851 (publicado 3 años después de su muerte), había introducido la noción de infinito actual y una óptica conjuntista. Así lo comenta Jean Sebestik, en su introducción al libro de Bolzano:

"La primera novedad de la obra consiste en la introducción de un punto de vista conjuntista en matemáticas. Este nuevo punto de vista responde, en Bolzano, a una doble necesidad. Por un lado, Bolzano intenta unificar a las matemáticas definiendo sus conceptos (en particular los de número y magnitud) a partir de uno solo, el de colección o sistema (Inbegriff). La doctrina de los conjuntos constituye en adelante la base de todas las teorías matemáticas. Por otro lado, los problemas propiamente matemáticos, en particular en la teoría de funciones, imponen un manejo extensional y así requieren de nociones conjuntistas. Finalmente, el punto de visa conjuntista permite abordar la noción de infinito con los medios conceptuales apropiados. Por ello, al inicio de las Paradojas del Infinito, Bolzano da una descripción de sus conceptos conjuntistas; en particular, los de conjunto, el de sucesión o serie, y los de número y de magnitud, que le permitirán dilucidar la naturaleza del infinito. Su concepción del infinito no tiene precedente y revoluciona una tradición milenaria.

Por primera vez, el infinito actual, cuyas propiedades dejan de ser contradictorias para convertirse simplemente en paradójicas, es admitido en matemáticas como concepto definido y con un referente. Por primera vez, igualmente, el infinito es una propiedad susceptible de ser atribuida únicamente a los objetos susceptibles de ser contados o medidos, es decir a los conjuntos y a las magnitudes.'' [Sebestik, Jean, en presentación del libro de Bernard Bolzano: Paradojas del infinito, pág. 10]

Bolzano sí se dio cuenta de que la característica de poner un conjunto en correspondencia biunívoca con uno de sus subconjuntos propios era la clave para su consideración como conjunto infinito.

Cantor se dio cuenta de que no todos los conjuntos infinitos eran del mismo tamaño. Los conjuntos infinitos también se podían ordenar. De lo que se trataba, entonces, era de establecer una jerarquización de números transfinitos y una aritmética para ellos. La potencia o tamaño de un conjunto era el número cardinal. El primer número cardinal transfinito, asignado a conjuntos numerables, era .El cardinal de los números reales era c. Este se llama el cardinal del continuo. Y se ha dado desde entonces una gran discusión sobre si esxisten transfinitos entre estos dos cardinales. Cantor mostró que sí hay cardinales mayores que c, al considerar, por ejemplo, el conjunto formado por todos los subconjuntos de los números reales. Esto es así porque siempre el conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado tiene un cardinal mayor que el conjunto dado. Cantor también definió los números ordinales transfinitos. Es decir, definió relaciones de orden entre transfinitos. 

Kronecker

Se desató una polémica entre Kronecker y Cantor en torno a la aceptación del infinito actual y del fundamento de las matemáticas. Las teorías de Cantor ganaron la aceptación entre los matemáticos (algunos opinan que sobre todo a partir del trabajo en la teoría de la medida desarrollada por Lebesgue), aunque siempre quedaron dificultades lógicas e incluso paradojas que marcaron debates interesantes a finales del siglo XIX y principios del siglo XX.

Se afirma que el debate entre formalistas e intuicionistas que luego se daría no fue sino una prolongación del debate entre Kronecker y Cantor.